目录
- 一、图的定义和基本术语(Graph)
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- （一）图的定义
- （二）图的基本术语
- 一、图的存储结构
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- （一）邻接矩阵（Adjacency Matrix)
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- 1、无向图的邻接矩阵
- 2、有向图的邻接矩阵
- 3、网（即有权图）的邻接矩阵
- 4、邻接矩阵的存储表示
- 5、采用邻接矩阵表示法创建无向网
- （二）邻接表（链式）表示法(Adjacency List）
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- 1、无向图的邻接表表示
- 2、有向图的邻接表表示
- 3、图的邻接表的存储定义
- 4、采用邻接表表示法创建无向图
- 5、邻接矩阵与邻接表的比较
- （三）十字链表(Orthogonal List)
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- 1、弧结点的结构
- 2、顶点结点的结构
- 3、图的结构定义
- 4、实例
- 5、有向图G的十字链表
- （四）邻接多重表(Adjacent MultiList)
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- 1、边结点的结构
- 2、顶点结点的结构
- 3、图的结构定义
- 4、实例
- 4、练习：画出无向图G的邻接多重表
一、图的定义和基本术语(Graph)
（一）图的定义
图（Graph)是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。
G=(V,E)
V:顶点（数据元素）的又穷非空集合
E:边的又穷集合
无向图：每条边都是没有方向的
有向图：每条边都是有方向的，边也称作弧
（二）图的基本术语
设n表示图中顶点的数目，e表示边的数目
完全图：任意两个点都有一条边相连
稀疏图：如果边或者弧的个数满足e<n*log2n,则称作稀疏图，否则称作稠密图
对无向图来说：
邻接点：若顶点v和顶点w之间存在一条边a,则称顶点v和w互为邻接点。边a与顶点v和w相关联。
度：与顶点v关联的边的数目，记为TD(v)
对有向图来说：
1、<x,y>为有向边（弧），x为有向边的起点（弧尾），y为有向边的终点（弧头）
2、顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作ID(v)
3、顶点v的出度是以v为始点的有向边的条数，记作OD(v)
路径：连续的边构成的顶点序列
路径长度：路径上边或者弧的数目
简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径
简单回路（简单环）：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。
一、图的存储结构
图的存储表示特点：
1、图没有顺序存储结构，但可以借助二维数组来表示图的元素之间的关系
2、以顶点为核心，建立邻接点和弧的关系；
（一）邻接矩阵（Adjacency Matrix)
1、考虑到图是由两个顶点和边或弧两部分组成，合在一起比较困难，可以分为两个结构来存储
2、顶点因为不区分大小，主次，所以可以用一个一维数组来存储，记录各个顶点的信息
3、边或弧是顶点和顶点的关系，用邻接矩阵来存储，表示各个顶点之间的邻接关系。
1、无向图的邻接矩阵
2、有向图的邻接矩阵
3、网（即有权图）的邻接矩阵
4、邻接矩阵的存储表示
//用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵
#define MaxInt 32767 //表示极大值，即无穷
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef char VerTexType; //假设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType; //假设边的权值类型为整型
typedef struct
{
VerTexType vexs[MVNum]; //顶点表
ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵
int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和边数
}AMGraph;
5、采用邻接矩阵表示法创建无向网
【算法步骤】
1、输入总顶点数和边数
2、依次输入点的信息存入到顶点表中
3、初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值
4、构造邻接矩阵
注意：
1、无向图需要为arcs[i][j]和arcs[j][i]赋值
2、有向图仅需为arcs[i][j]赋值
算法描述：
Status CreateUDN(AMGraph& G)
{
cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入总顶点数和总边数
for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)
cin >> G.vexs[i];//依次输入顶点的信息
for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值
for (int j = 0;j < G.vexnum;++j)
G.arcs[i][j] = MaxInt;
for (int k = 0;k < G.arcnum;++k)
{
cin >> v1 >> v2 >> w;//输入一条边依附的顶点和权值
i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G, v2);//确定两个顶点v1和v2在G中的位置
G.arcs[i][j] = w;//边<v1,v2>的权值置为w
G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];//置边<v1,v2>的对称点<v2,v1>的权值也为w
}
return OK;
}
int LocateVex(AMGraph G, VertexType u)
{ //若在图中找到这个元素，则返回它的下标i,否则返回-1
int i;
for (i = 0;i < G.vexnum;++i)
if (u == G.vexs[i])
return i;
return -1;
}
（二）邻接表（链式）表示法(Adjacency List）
是图的链式存储结构，基本思想就是只存储图中存在的边的信息，对不相邻的顶点则不保留信息
对图中每个顶点vi建立一个带头结点的单链表，把与vi相邻接的顶点放在这个链表中，一个单链表对应邻接矩阵中的一行，称为边链表。
1、无向图的邻接表表示
2、有向图的邻接表表示
3、图的邻接表的存储定义
分三部分：
1、图的结构定义
2、顶点的头结点结构
3、弧（边）的结点结构
//弧的结点结构
#define MVNum 100 //最大的顶点数
typedef struct ArcNode
{
int adjvex; //该边所指的顶点的位置
struct ArcNode* nextarc; //指向下一条边的指针
OtherInfo info; //和边相关的信息
}ArcNode;
//顶点的结点结构
typedef struct VNode
{
VertexType data;//顶点信息
ArcNode* firstarc;//指向第一条依附该顶点的边
}VNode,AdjList[MVNum];//AdjList表示邻接表类型
//AdjList v相当于VNode v[MVNum]
//图的结构定义（邻接表）
typedef struct
{
AdjList vertices;//vertices是vertex的复数
int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和边数
}ALGraph;
ALGraph G;//定义了邻接表表示的图G
G.vexnum = 5;G.arcnum = 6;//图G包含了5个顶点和6条边
G.vertices[1].data = 'v2';//图G中第2个顶点是v2
p = G.vertices[1].firstarc;//指针p指向顶点v2的第一个边结点
p->adjvex = 4;//p指针所指边结点是到下标为4的结点的边
4、采用邻接表表示法创建无向图
【算法步骤】
1、输入总顶点数和总边数
2、建立顶点表1、依次输入点的信息存入顶点表中
2、使每个表头结点的指针域初始化为NULL3、创建邻接表
1、依次输入每条边依附的两个顶点
2、确定这两个顶点的序号i和j
3、将此边结点分别插入vi和vj对应的两个边链表的头部
Status CreateUDG(ALGraph& G)
{ //采用邻接表表示法，创建无向图G
cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入顶点数和弧数
for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)
{
cin >> G.vertices[i].data;//输入顶点值
G.vertices[i].firstarc = NULL;//初始化表头结点的指针域为NULL
}
for (int k = 0;k < G.arcnum;++k)//输入各边，构造邻接表，头插法
{
cin >> v1 >> v2;//输入一条边依附的两个顶点
i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G.v2);
p1 = new ArcNode;//生成一个新的边结点*p1
p1->adjvex = j;//邻结点序号为j
p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;//firstarc为空，所以nextarc也指向空，即最后的一个结点
G.vertices[i].firstarc = p1;//将新结点*p1插入到顶点vi的边表头部
p2 = new ArcNode;//生成一个新的边结点*p2
p2->adjvex = i;
p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;//插入弧结点到单链表
G.vertices[j].firstarc = p2;//将新结点*p2插入到顶点vi的边表头部
}//头插法
return OK;
}
5、邻接矩阵与邻接表的比较
练习：画出有向图G的邻接矩阵、邻接表、逆邻接表
（三）十字链表(Orthogonal List)
十字链表是有向图的另一种链式存储结构，可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表
1、弧结点的结构
Tailvex:指示弧尾结点在图中的位置
headtex:指示弧头顶点在图中的位置
hlink:是指向弧头相同的下一条弧的指针
tlink：是指向弧尾相同的下一条弧的指针
Info:指向该弧的相关信息
typedef struct ArcBox
{
int tailvex, headvex;//该弧的尾和头顶点的位置
struct ArcBox* hlink, * tlink;//分别为弧头相同和弧尾相同的弧的指针域
InfoType* info;//该弧相关信息的指针
}ArcBox;
2、顶点结点的结构
每个顶点有一个结点，它相当于出边表和入边表的表头结点。数据成员data存放与该顶点的相关信息。链域firstin指示以该顶点为弧头的第一个弧结点。链域firstout指示以该结点为弧尾的第一个弧结点。
typedef struct VexNode
{
VertexType data;
ArcBox* firstin, * firstout;//分别指向该顶点第一条入弧和出弧
}VexNode;
//ArcBox为弧结点变量
3、图的结构定义
typedef struct
{
VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];//表头向量
int vexnum, arcnum;//有向图的当前顶点数和弧数
}OLGraph;
4、实例
5、有向图G的十字链表
（四）邻接多重表(Adjacent MultiList)
邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构，由于用邻接表存储无向图时，虽然容易求出顶点和边的各种信息，但在邻接表中每一条边有两个结点，分别在第i和j个链表中，给图的某些操作带来不便，在邻接多重表中，每一条边只有一个边结点，为有关的处理提供了方便。
1、边结点的结构
mark：为标志域，可用以标记该条边是否被搜索过
ivex和jvex为该边依附的两个顶点在图中的位置
ilink:指向下一条依附于顶点的ivex的边
jlink:指向下一条依附于顶点jvex的边
info:为指向和边相关的各种信息个指针域
typedef struct EBox
{
VisitIf mark;//访问标志域
int ivex, jvex;//该边依附的两个顶点在表头数组中的位置
struct Ebox* ilink, * jlink;//分别指向依附于ivex和jvex的下一条边
InfoType* info;
}EBox;
2、顶点结点的结构
typedef struct VexBox
{
VertexType data;//存与顶点相关的信息
EBox* firstedge;//指向第一条依附于该顶点的边
}VexBox;
3、图的结构定义
typedef struct
{
VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];//表头向量
int vexnum, edgenum;//无向图的当前顶点数和弧数
}OLGraph;
//VexNode为顶点结点变量
4、实例
4、练习：画出无向图G的邻接多重表
