文章目录

• 前言
• 一、传递函数
• • 1.什么是传递函数
  • 2.FIR与IIR在传递函数上的区别（FIR）
  • 3.FIR与IIR在传递函数上的区别（IIR）
  • 4.FIR的抽头系数/FIR的阶数
  • 5.FIR滤波器的线性相位
• 二、CIC滤波器与滑动平均滤波器
• • 1.CIC滤波器
  • 2.滑动平均滤波器（=CIC单级滤波器）
  • 3.多级CIC在FPGA中累加器溢出的问题

前言

 本人常常使用matlab做数据处理，往往是会使用滑动平均滤波器，但是鉴于本人是做FPGA的，发现这个滑动平均滤波器和CIC滤波器极度相似，且自己在使用过程中对滑动平均滤波器的频响比较模糊，所以在参考了书本以及大量csdn、知乎的博主后，写一篇相关博客，来解释滑动平均滤波器与CIC滤波器的关系以及FIR滤波器的一些内容，如果想探究详细的数学推导还是看书最靠谱，本文尽可能使用简单的公式与结论。

一、传递函数

 滑动平均滤波器与CIC滤波器都是FIR滤波器，也就是所谓的有限冲击响应滤波器，这里先简单介绍一下滤波器的相关概念。

1.什么是传递函数

 matlab中的filter函数的标准使用方法就是y=filter(b,a,x)，其中b和a共同构成了传递函数（也成为系统函数），x代表进入滤波器的数据，y代表滤波器输出的数据，例如下图中H（z）就是一个传递函数

 传递函数往往用拉氏变换（复频域）或者z变换（圆频域）来表示，都是频域的一种表达形式，这个传递函数表示的就是系统的输出/输入的频响曲线。滤波器也属于一种系统，自然也有自己的传递函数来表征它的频响特点。
 这个传递函数怎么来的呢，对于常见的线性时不变离散系统来讲（对于matlab处理信号的大部分情况默认是这个就可以了），其表现形式一般是下图

 其中，y(n)是输出，x(n)是输入，y(n-k)是y(n)延迟k个时刻，x(n-r)是x(n)延迟r个时刻，带有角标的a和b就是系数，将上图两边进行z变换，就可以得到下图，

 Y(z)就是输出的z变换，X(z)就是输入的z变换，将Y(z)/X(z)，这就是传递函数H(z)，表征了这个系统的输出/输入的z变换形式，也就是频响特征，再通过数学推导，并联立下图（时域的卷积）

 最终可以得到下图

 h(n)就是系统的冲击响应，也就是H(z)的逆z变换，在时域上表征系统的输出/输入。从上图可以看出H(z)就是一个z的有理分数式，这也就是传递函数的由来。

2.FIR与IIR在传递函数上的区别（FIR）

 FIR，中文名是有限冲击响滤波器，其实就是滤波器传递函数的逆z变换，也就是上图中的h(n)，是有限的，那么FIR的传递函数就是如下所示，

 可以看到，求和上的∞变成了M，也就是这个FIR系统的冲激响应h(n)最多只有M个非零值，是有限的，其余必定是0，所以这就是有限冲击响应滤波器的由来。再回过头来看matlab中filter函数的定义，

 所以在使用matlab的filter designer工具时，生成了一个一位数组，也就是b，根据FIR的传递函数的性质，a则可以直接为1。

3.FIR与IIR在传递函数上的区别（IIR）

 IIR，中文名是无限冲击响滤波器，就是滤波器传递函数的逆z变换，也就是h(n)，是无限的，IIR的传递函数如下图所示。

4.FIR的抽头系数/FIR的阶数

 FIR的滤波器在频域上的体现就是传递函数，在时域上的体现是h(n)卷积x(n)，h(n)毕竟是有限的，所以FIR的表现形式如下图所示，在a1与a(M)都不为0的情况下，滤波器的阶数就是M+1，抽头系数就是a，总计M+1个。

5.FIR滤波器的线性相位

 FIR滤波器可以最突出的特点就是可以做到线性相位，而IIR的相位特性是非线性的，当FIR的有限冲击响应h(n)，即抽头系数，满足偶对称或者奇对称，即h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)时，FIR的相位特性是线性的，matlab中的众多FIR抽头系数设计函数或工具，都可以自动保持线性相位，例如工具filter designer，

 得到的抽头系数，plot出来就是

 可以看到就是偶对称的，自然可以做到线性相位。
 关于FIR与IIR的优缺点，如果能够理解上述内容，随便百度一下，就能够看懂，如果不能理解原理，那知道优缺点的内容也没什么实质意义。

二、CIC滤波器与滑动平均滤波器

 如果上面的东西已经理解了，那么现在就可以去研究一下CIC滤波器和滑动平均滤波器了。
 第一章的内容多是参考书本，但第二章的内容很多就是参考众多带佬所提炼出来的了，出于传播知识的同时也要尊重知识的想法，会把链接放出来，希望想深究的可以自己亲自研究一下。

1.CIC滤波器

知乎关于CICl滤波器的解析
单级CIC的幅频响应推导
多级CIC的使用

 CIC滤波器的硬件结构为积分器与梳妆FIR滤波器，共同构成了CIC滤波器，它的传递函数如下图所示，

 把上图中的分子因式分解就可以约掉分母，得到

 这也就满足了FIR滤波器的传递函数表达式。
 设D=10，

 在matlab画出这个CIC的幅频响应，为

 可以看到它是一个低通滤波器，在2*pi/D，也就是Fs/D（Fs：采样率）的整数倍（最大只能到pi/D，也就是Fs/2D）上的抑制效果很明显，但是阻带衰减能力不足,只有13db左右。应当注意一点的是以上所讲的只是最简单的单级CIC，如果看了上面这些博客，会发现CIC很大的用处是级联使用，应用于抽取和内插，配合Noble等式，在硬件上，例如FPGA中，以非常低的资源消耗实现想要的滤波效果。

2.滑动平均滤波器（=CIC单级滤波器）

 从上一节的传递函数约掉分母可以看出，滑动平均滤波器是CIC滤波器的一种，也就是单级CIC。滑动平均滤波器可以使波形变得更平滑，其实本质上，它是一个FIR低通滤波器。假设它的窗宽是DM，那么下图所示就是根据它的传递函数得出傅里叶变换表达式（圆频率下）

 当w趋近于0时，这个滤波器有着最大的幅度增益，也就是窗宽DM，增益就是20log（DM）db，可以看到上图窗宽为10时，原点是20db，这就是为什么在滑动滤波器的实际使用中，抽头系数要用1/DM来表示，那么频率为0时，增益最大就是0db。
 那如何根据实际需要设计滑动平均滤波器呢？其实就是设计低通滤波器的截止频率，至于你的截止频率设置在多少肯定要根据你自己的信号处理要求了。
 下面对涉及采样定律的滑动平均滤波器的幅频响应进行推导，没有找到相似的内容，这里直接进行手写：

 上图中，Fs代表采样率，f代表频率，D为窗宽，如果已知-3db时的截止频率，想计算窗宽，只需对sinc函数的值域了解一下，知道sinc函数在0.707左右时，x的值约等于0.443，然后根据x=f*D/Fs反推f的值就可以了，这里给一个一般性结论，即

3.多级CIC在FPGA中累加器溢出的问题

 可以看到，CIC滤波器如果单级使用，在FPGA也可以不用累加器和梳妆FIR，就当成滑动平均来用，但如果级联CIC的情况下，必然要使用累加器和梳妆FIR，累加器就是无限加法，梳妆FIR就是减法，但是累加器有一个问题就是会因为不停加法而溢出，在数字信号处理的书中与上面的一篇知乎文章中都有提及，就是如果累加器位宽满足一定要求，并且采用补码进行运算的话，则不会有这个问题。
 需要声明一点，关于这个内容的推导我并没有进行，也没有深究，只是疑惑累加器溢出的问题而找到了一些答案。