目录

• 1. 定义法
• 2. 二元实函数的线积分
• 3. 原函数
• 4. 柯西积分公式
• 5. 高阶导数
• 6. 结论法

1. 定义法

2. 二元实函数的线积分

Gamma公式展示 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! ∀ n ∈ N \Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N Γ(n)=(n−1)!∀n∈N 是通过 Euler integral

∫ c f ( z ) d z   = ∫ c u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y + i ∫ c v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y \int_c f(z)dz\, = \int_c u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_c v(x,y)dx+u(x,y)dy ∫c​f(z)dz=∫c​u(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫c​v(x,y)dx+u(x,y)dy

参数方程形式

3. 原函数

∫ a b f ( z ) d z   = G ( b ) − G ( a ) \int_a^b f(z)dz\, = G(b) - G(a) ∫ab​f(z)dz=G(b)−G(a)
常见使用情况：
有积分的上下限（起始点和终止点）

4. 柯西积分公式

设f(z)在简单闭曲线C所围成的 区域 D 内解析，在 D∪C内连续，z₀是D内任一点，则
f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_0) = \tfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} \tfrac {f(z)}{z - z_0} dz f(z0​)=2πi1​∮C​z−z0​f(z)​dz

5. 高阶导数

设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，而在D∪C上连续，则f(z)的各阶导函数均在D内解析，对D内任一点z，有

f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ f^{(n)}(z) = \tfrac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \tfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta f(n)(z)=2πin!​∮C​(ζ−z)n+1f(ζ)​dζ

6. 结论法

基础结论
∮ C d z ( z − z 0 ) n ， C 为 以 z 0 为 圆 心 ， 任 意 半 径 的 圆 。 \oint_{C} \tfrac{dz}{(z-z_0) ^n}，C为以z0为圆心，任意半径的圆。 ∮C​(z−z0​)ndz​，C为以z0为圆心，任意半径的圆。

• 当n=1时，积分值为 2Πi
• 当n≠1时，积分值为 0

语言描述：以奇点为圆心的圆，积分值与半径无关。

计算不一定一步步得数，也可用性质走捷径。