1.线性系统理论是控制理论中的基础内容，主要是研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。
2.基本的研究方法和步骤：
①建立描述物理系统状态的数学模型：通过实验、物理定律和数学方程等来得到模型。一般由微分方程、差分方程、偏分方程或代数方程等构成。
②基于模型的系统分析：定性、定量的分析可控可观、稳定性等。
③系统设计：通过设计控制器或改变控制律来改善系统的性能指标。
④系统运行：→（3/2/1）
3.控制系统的数学描述：
输入/输出描述：描述的是系统的外部特性。
状态空间描述：系统内外部特性，是一种全面的描述方法。由于获得了系统的全面信息，故可设计出性能更好的系统。但在许多情况下，实现系统的状态空间描述是困难的。

一、系统输入-输出描述

1.输入/输出描述

不知道系统内部结构信息，唯一可测量的量是系统的输入输出信号，通过各类输入，获取输出，获得特性。当系统输入输出都只有一个时，为单变量系统；输入或输出多于一个时，为多变量系统。

2.初始松弛

如果一个只有输入和输出可测量的系统，即输入—输出系统，对相同的输入有不同的输出，那么对其描述就没有意义。初始松弛实际上就是，在经典控制中，初始条件为零这样一个假设。
例如简单的二阶系统：
y ¨ c + 2 y ˙ c + y c = u ( t ≥ t 0 = 0 ) { {\ddot{y}}_{c}}+2{ {\dot{y}}_{c}}+{ {y}_{c}}=u\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left( t\ge { {t}_{0}}=0 \right) y¨​c​+2y˙​c​+yc​=u​​(t≥t0​=0)
从微分方程的解可知，其定解条件是有确定的初始条件，如果初始条件不能确定，那么输出就不能由输入 u u u唯一确定，
y ˙ c ( 0 ) , y c ( 0 ) { {\dot{y}}_{c}}\left( 0 \right),{ {y}_{c}}\left( 0 \right) y˙​c​(0),yc​(0)
如若假定系统的初始条件为零，从能量角度看，表示系统从 − ∞ -\infty −∞到0时间段内储能为零。
y c ( t ) = ∫ 0 t h ( t − τ ) u ( τ ) d τ y c = H u = h ∗ u { {y}_{c}}\left( t \right)=\int_{0}^{t}{h\left( t-\tau \right)}u\left( \tau \right)d\tau \\ { {y}_{c}}=Hu=h*u yc​(t)=∫0t​h(t−τ)u(τ)dτyc​=Hu=h∗u

对于一个任意的物理系统，假定其在 − ∞ -\infty −∞处的储能为零，或者说，在 − ∞ -\infty −∞处于松弛状态或静止状态总是合理的。定义： − ∞ -\infty −∞时松弛或静止的系统为初始松弛系统，简称松弛系统。
上式中 H H H是一个算子，在复数域上，传递函数就是将输入映射为输出的算子，在实施域上，是卷积运算 h ( t ) {h\left( t \right)} h(t)是脉冲响应函数。

3.线性系统

1）线性系统定义：对于一个松弛系统为线性系统，当且仅当对于任何输入 u 1 u_1 u1​和 u 2 u_2 u2​，以及任意实数或复数 α 1 \alpha_1 α1​和 α 1 \alpha_1 α1​，有
H ( α 1 u 1 + α 2 u 2 ) = α 1 H u 1 + α 2 H u 2 H(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2)=\alpha_1Hu_1+\alpha_2Hu_2 H(α1​u1​+α2​u2​)=α1​Hu1​+α2​Hu2​
实际上就是叠加原理=齐次性和可加性，满足叠加原理是线性系统的唯一判据。对于拉普拉斯算子就是线性系统。
2）线性松弛系统的脉冲响应：
①首先引入 δ \delta δ函数或脉冲函数的概念：
对于一段脉冲：
δ Δ ( t − t 1 ) = { 0 t < t 1 1 Δ t 1 ≤ t < t 1 + Δ 0 t ≥ t 1 + Δ { {\delta }_{\Delta }}( t-{ {t}_{1}})=\left\{ \begin{matrix} 0 & t<{ {t}_{1}} \\ \frac{1}{\Delta } & { {t}_{1}}\le t<{ {t}_{1}}+\Delta \\ 0 & t\ge { {t}_{1}}+\Delta \\ \end{matrix}\right. δΔ​(t−t1​)=⎩⎨⎧​0Δ1​0​t<t1​t1​≤t<t1​+Δt≥t1​+Δ​
其极限形式就是脉冲函数，简称 δ \delta δ函数：
δ ( t − t 1 ) = lim ⁡ Δ → 0   δ Δ ( t − t 1 ) \delta \left( t-{ {t}_{1}} \right)=\underset{\Delta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{ {\delta }_{\Delta }}\left( t-{ {t}_{1}} \right) δ(t−t1​)=Δ→0lim​δΔ​(t−t1​)
② δ \delta δ函数的采样性：对于在 t 1 {t}_{1} t1​连续的任意函数
∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 1 ) d t = f ( t 1 ) \int_{-\infty }^{+\infty }{f\left( t \right)\delta \left( t-{ {t}_{1}} \right)}dt=f\left( { {t}_{1}} \right) ∫−∞+∞​f(t)δ(t−t1​)dt=f(t1​)
故可以用 δ Δ ( t − t 1 ) { {\delta }_{\Delta }}\left( t-{ {t}_{1}} \right) δΔ​(t−t1​)近似表示信号：
u ( t ) ≈ ∑ n δ Δ ( t − t n ) [ u ( t n ) Δ ] u\left( t \right)\approx \sum\limits_{n}{ { {\delta }_{\Delta }}\left( t-{ {t}_{n}} \right)}\left[ u\left( { {t}_{n}} \right)\Delta \right] u(t)≈n∑​δΔ​(t−tn​)[u(tn​)Δ]
③进一步的线性系统的脉冲响应函数就可以表示为：
y = H u ≈ H u ( t ) = ∑ n [ H δ Δ ( t − t n ) ] [ u ( t n ) Δ ] \begin{aligned} & y=Hu\approx Hu\left( t \right) \\ & =\sum\limits_{n}{\left[ H{ {\delta }_{\Delta }}\left( t-{ {t}_{n}} \right) \right]}\left[ u\left( { {t}_{n}} \right)\Delta \right] \end{aligned} ​y=Hu≈Hu(t)=n∑​[HδΔ​(t−tn​)][u(tn​)Δ]​
取极限，就可以表示成积分的形式，
y = ∫ − ∞ + ∞ H δ ( t − τ ) u ( τ ) d τ y=\int_{-\infty }^{+\infty }{H\delta \left( t-\tau \right)}u\left( \tau \right)d\tau y=∫−∞+∞​Hδ(t−τ)u(τ)dτ
其中 H δ ( t − τ ) {H\delta \left( t-\tau \right)} Hδ(t−τ)就是脉冲响应函数，其意义是在 τ \tau τ时刻，对线性系统施加一个脉冲响应函数，从而得到系统输出，所有也可以表示为双变量的形式：
H δ ( t − τ ) = g ( ξ , τ ) H\delta \left( t-\tau \right)=g\left( \xi ,\tau \right) Hδ(t−τ)=g(ξ,τ)

4.因果性

1）定义：
若系统在时刻t 的输出只取决于时刻 t 和 在 t 之前的输入，而不取决于 t 之后的输入则称系统具因果性。
任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说，任何实际物理过程，结果总不会在引起这种结果的原因发生之前产生，即未来的输入（原因）对过去和现在的输出（结果）无影响。
2）截断算子表示系统的因果性：
∀ T P T ( H u ) = P T ( H P T u ) \forall T\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}{ {P}_{T}}\left( Hu \right)={ {P}_{T}}\left( H{ {P}_{T}}u \right) ∀T​​PT​(Hu)=PT​(HPT​u)

左边输入比右边多了的T之后的一段，而输出在两边是一样的，这说明的T之后的输入对输出无影响。

5. t 0 { {t}_{0}} t0​时刻的松弛性

1）定义：系统在时刻 t 0 { {t}_{0}} t0​称为松弛的，当且仅当 t ≥ t 0 t\ge { {t}_{0}} t≥t0​时的输出y仅唯一地由 t ≥ t 0 t\ge { {t}_{0}} t≥t0​时的输入u所决定，即 y [ t 0 , + ∞ ) { {y}_{\left[ { {t}_{0}},+\infty \right)}} y[t0​,+∞)​仅唯一地由 u [ t 0 , + ∞ ) { {u}_{\left[ { {t}_{0}},+\infty \right)}} u[t0​,+∞)​决定。
若已知系统在 t0时松弛，则输入/输出关系可以写成
y [ t 0 , + ∞ ) = H u [ t 0 , + ∞ ) y_{\left[ { {t}_{0}},+\infty \right)}=Hu_{\left[ { {t}_{0}},+\infty \right)} y[t0​,+∞)​=Hu[t0​,+∞)​
2)充分条件：若一个线性系统满足 u ( − ∞ , t 0 ) { {u}_{\left( -\infty ,{ {t}_{0}} \right)}} u(−∞,t0​)​，则系统必定在t0时刻松弛。
3）充要条件：

6.时不变性

1）定义：一个松弛的时不变线性系统的特性：输入信号延迟 α \alpha α 秒，其响应也恰好延迟 α \alpha α秒，且波形不变，即系统特性不随时间而变化。
位移算子：经 Q α { {Q}_{\alpha }} Qα​作用后的输出等于延迟了 α \alpha α秒的输入。
定义：松弛系统为时不变系统，当且仅当对于任何输入u和任何实数 α \alpha α，有
Q α y = Q α H u = H Q α u { {Q}_{\alpha }}y={ {Q}_{\alpha }}Hu=H{ {Q}_{\alpha }}u Qα​y=Qα​Hu=HQα​u
2）时不变系统的脉冲响应函数
根据时不变的特性可以推导：
g ( t , τ ) = g ( t − τ , 0 ) = g ( t + α , τ + α ) = g ( t − τ ) \begin{aligned} & g\left( t,\tau \right)=g\left( t-\tau ,0 \right) \\ & =g\left( t+\alpha ,\tau +\alpha \right) \\ & =g\left( t-\tau \right) \end{aligned} ​g(t,τ)=g(t−τ,0)=g(t+α,τ+α)=g(t−τ)​
对时不变系统来说，脉冲响应仅取决于观测时刻 t 与脉冲作用时刻 τ \tau τ的差。

7.传递函数阵和极点多项式

1）已知系统脉冲响应矩阵，对个元素直接进行Laplace变换得到传递函数阵。
2）正则性定义： G ( ∞ ) G\left( \infty \right) G(∞)是一个非零的常量矩阵，有理传递矩阵G(s)称为是正则的； G ( ∞ ) = 0 G\left( \infty \right)=0 G(∞)=0，G(s)称为是严格正则的。
3）传递函数阵的极点：G(s)所有不恒为零的各阶子式的首一最小公分母称为G(s)的极点多项式。极点多项式的根称为G(s)的极点。
4）传递函数阵的零点：G(s)的所有r 阶子式，在其分母取G(s)的极点多项式时，其分子多项式的首一最大公因式称为G(s)的零点多项式。零点多项式的根称为G(s)的零点。

二、系统的状态变量描述

1.什么是状态变量

1）能和 u [ t 0 , + ∞ ) { {u}_{\left[ { {t}_{0}},+\infty \right)}} u[t0​,+∞)​一起唯一地确定系统在所有 t ≥ t 0 t\ge { {t}_{0}} t≥t0​时的行为的系统t0时刻的信息量,称为系统在t0时刻的状态。行为包括输出和信息量本身的更新，随时间 t ≥ t 0 t\ge { {t}_{0}} t≥t0​不断更新的信息量称为状态变量，以状态变量构成的向量称为状态向量。
2）特点：
第一，状态变量的不唯一性，一般取有物理意义的量；
第二，状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目；
第三，状态变量的数目的可以是有限个，也可以是无限多个；（例如延迟系统无限个值作为初始状态）
第四，状态向量取值的实向量空间，称为状态空间。

2.线性时不变动态方程

动态方程：系统的动态方程是由状态方程和输出方程组成的，n维线性时不变动态方程一般形式为：
x ˙ = A x + B u y = C x + D u \begin{aligned} & \mathbf{\dot{x}=Ax+Bu} \\ & \mathbf{y=Cx+Du} \\ \end{aligned} ​x˙=Ax+Buy=Cx+Du​

3.时不变系统的传递函数矩阵

动态方程进行Laplace变换可得，
y ( s ) = [ C ( s I − A ) − 1 B + D ] u ( s ) = G ( s ) u ( s ) G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D \begin{aligned} & y\left( s \right)=\left[ \mathbf{C}{ {(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}\mathbf{B}+\mathbf{D} \right]u\left( s \right)=\mathbf{G}\left( s \right)u\left( s \right) \\ & \mathbf{G}\left( s \right)=\mathbf{C}{ {(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}\mathbf{B}+\mathbf{D} \\ \end{aligned} ​y(s)=[C(sI−A)−1B+D]u(s)=G(s)u(s)G(s)=C(sI−A)−1B+D​

4.预解矩阵 ( s I − A ) − 1 {(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1} (sI−A)−1