文章目录

• • 1. 题目
  • 2. 解题

1. 题目

已知一个 NxN 的国际象棋棋盘，棋盘的行号和列号都是从 0 开始。即最左上角的格子记为 (0, 0)，最右下角的记为 (N-1, N-1)。

现有一个 “马”（也译作 “骑士”）位于 (r, c) ，并打算进行 K 次移动。

如下图所示，国际象棋的 “马” 每一步先沿水平或垂直方向移动 2 个格子，然后向与之相垂直的方向再移动 1 个格子，共有 8 个可选的位置。

现在 “马” 每一步都从可选的位置（包括棋盘外部的）中独立随机地选择一个进行移动，直到移动了 K 次或跳到了棋盘外面。（博主注：不能从外面跳回来）

求移动结束后，“马” 仍留在棋盘上的概率。

示例：
输入: 3, 2, 0, 0
输出: 0.0625
解释: 
输入的数据依次为 N, K, r, c
第 1 步时，有且只有 2 种走法令 “马” 
可以留在棋盘上（跳到（1,2）或（2,1））。
对于以上的两种情况，各自在第2步均有且只有2种走法令 “马” 仍然留在棋盘上。
所以 “马” 在结束后仍在棋盘上的概率为 0.0625。
 
注意：
N 的取值范围为 [1, 25]
K 的取值范围为 [0, 100]
开始时，“马” 总是位于棋盘上

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/knight-probability-in-chessboard
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2. 解题

类似题目：LeetCode 576. 出界的路径数（动态规划）

• dp[i][j][k] 表示在 (i, j) 时还剩 k 次跳动机会时的概率

class Solution { 
public:
    double knightProbability(int N, int K, int r, int c) { 
        vector<vector<vector<double>>> dp(N, vector<vector<double>>(N, vector<double>(K+1, 0.0)));
        dp[r][c][K] = 1.0;
        vector<vector<int>> dir = { { 2,1},{ 1,2},{ -2,1},{ -1,2},{ 2,-1},{ 1,-2},{ -1,-2},{ -2,-1}};
        int i, j, k, x, y, d;
        for(k = K; k > 0; k--) 
        { 
            for(i = 0; i < N; i++)
            { 
                for(j = 0; j < N; j++)
                { 
                    for(d = 0; d < 8; d++)
                    { 
                        x = i + dir[d][0];
                        y = j + dir[d][1];
                        if(x>=0 && x<N && y>=0 && y<N)
                        { 
                            dp[x][y][k-1] += dp[i][j][k]/8.0;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        double ans = 0.0;
        for(i = 0; i < N; i++)
            for(j = 0; j < N; j++)
                ans += dp[i][j][0];
        return ans;
    }
};

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