连续傅里叶变换

正变换：
X ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − i ω t d t X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t}dt X(ω)=∫−∞∞​x(t)e−iωtdt
逆变换：
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) e i ω t d ω x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega x(t)=2π1​∫−∞∞​X(ω)eiωtdω

∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) x ˉ ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( t ) [ ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) e i ω t d ω ] ‾ d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( t ) [ ∫ − ∞ ∞ X ‾ ( ω ) e − i ω t d ω ] d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − i ω t d t ] X ‾ ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) X ‾ ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( ω ) ∣ 2 d ω \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt \\\\ =& \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \bar{x}(t) dt \\\\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \overline{\left[ \int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\right]} dt \\\\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \overline{X}(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\right] dt \\\\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t}dt \right] \overline{X}(\omega)d\omega \\\\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega) \overline{X}(\omega)d\omega \\\\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega) |^2d\omega \end{aligned} ======​∫−∞∞​∣x(t)∣2dt∫−∞∞​x(t)xˉ(t)dt2π1​∫−∞∞​x(t)[∫−∞∞​X(ω)eiωtdω]​dt2π1​∫−∞∞​x(t)[∫−∞∞​X(ω)e−iωtdω]dt2π1​∫−∞∞​[∫−∞∞​x(t)e−iωtdt]X(ω)dω2π1​∫−∞∞​X(ω)X(ω)dω2π1​∫−∞∞​∣X(ω)∣2dω​

离散傅里叶变换

正变换:
X k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − i ω 0 k n X_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i\omega_0 kn} Xk​=N1​n=0∑N−1​x[n]e−iω0​kn
逆变换：
x [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 X k e i ω 0 k n x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{i\omega_0 kn} x[n]=k=0∑N−1​Xk​eiω0​kn

∑ n = 0 N − 1 ∣ x [ n ] ∣ 2 = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] x [ n ] ‾ = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ∑ k = 0 N − 1 X k e i ω 0 k n ‾ = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ∑ k = 0 N − 1 X k ‾ e − i ω 0 k n = N ∑ k = 0 N − 1 [ 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − i ω 0 k n ] X k ‾ = N ∑ k = 0 N − 1 X k X k ‾ = N ∑ k = 0 N − 1 ∣ X k ∣ 2 \begin{aligned} &\sum_{n=0}^{N-1} \left|x[n]\right|^2 \\\\ =& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\overline{x[n]} \\\\ =& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\overline{\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{i\omega_0 kn}} \\\\ =& \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sum_{k=0}^{N-1} \overline{X_k} e^{-i\omega_0 kn} \\\\ =& N \sum_{k=0}^{N-1} \left[ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\omega_0 kn}\right] \overline{X_k} \\\\ =& N \sum_{k=0}^{N-1} X_k \overline{X_k} \\\\ =& N \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2 \end{aligned} ======​n=0∑N−1​∣x[n]∣2n=0∑N−1​x[n]x[n]​n=0∑N−1​x[n]k=0∑N−1​Xk​eiω0​kn​n=0∑N−1​x[n]k=0∑N−1​Xk​​e−iω0​knNk=0∑N−1​[N1​n=0∑N−1​x[n]e−iω0​kn]Xk​​Nk=0∑N−1​Xk​Xk​​Nk=0∑N−1​∣Xk​∣2​