文章目录
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- 1 先说噪声
- 2 噪声对于系统的影响
- 3 对于PID控制器的影响
- 4 加入滤波器
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- 4.1 传递函数
- 4.2 串联微分的等效形式反馈积分
- 5 C语言实现
- 6 参考
1 先说噪声
在电子设备等电路系统中，噪声是不被系统需要的电信号；电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。
在通信系统中，噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号。
2 噪声对于系统的影响
噪声出现的第一个场景，当我们在教室里做英语听力，然后旁边的同学手机忽然来了一条短信，这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰，然后会发出哔哔哔的声音；
下面是一个正弦信号跌加噪声的例子，在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声，可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美，具体如下图所示；
或者，很久很久以前，数字电视还没有普及，那时候的显像管的黑白电视，也容易出现这样的雪花一样的噪声，叠加在图片上就会出现这样的效果，具体如下图所示；
从上述的例子中可以看到，噪声往往会对系统造成一定程度的影响，但是如果噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。
下面做一个实验；
在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声；从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片；
然后我尝试提高了整幅图片的亮度，发现，噪点便开始出来了，这像极平时那些枪版影片的马赛克画质；
整体的实验结果如下图所示；
3 对于PID控制器的影响
既然噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现，那么对理想的PID控制器又有什么影响呢？
不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器会对偏差的变化率（斜率）进行累加，从而产生积分器的输出；
对于微分器来说，即使噪声幅度足够小，但是只要达到足够高频率，偏差的变化率一样可以变得很大，下面举个例子；
这里有一个固定频率 f f f和赋值 A A A的噪声为信号1，这个信号可以表示为：
X 1 ( t ) = A s i n ( 2 π f t ) X_1(t) = Asin(2\pi f t) X1(t)=Asin(2πft)
于是我们尝试将信号1的幅度减半，频率变为原来的两倍，得到了信号2：
X 2 ( t ) = A 2 s i n ( 2 π 2 f t ) X_2(t) = \cfrac{A}{2} sin(2\pi 2f t) X2(t)=2Asin(2π2ft)
以此类推，在信号2的基础上，幅度再减半，频率乘以2，得到信号3：
X 3 ( t ) = A 4 s i n ( 2 π 4 f t ) X_3(t) = \cfrac{A}{4} sin(2\pi 4f t) X3(t)=4Asin(2π4ft)
简单画了一下这个信号，具体如下图所示；
假设分别取三个信号位于 t 0 t_0 t0该点的斜率，从图中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，简单验证一下，在 t 0 t_0 t0时刻，可以得到：
{ D 1 = d X 1 ( t ) d t D 2 = d X 2 ( t ) d t D 3 = d X 3 ( t ) d t \begin{cases}D_1 = \cfrac{dX_1(t)}{dt} \\ \\ D_2 = \cfrac{dX_2(t)}{dt} \\ \\ D_3 = \cfrac{dX_3(t)}{dt} \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧D1=dtdX1(t)D2=dtdX2(t)D3=dtdX3(t)
所以这里就是求复合函数的微分，由于选取的点比较特殊，发现最终计算得到的结果 D 1 = D 2 = D 3 D_1 = D_2 = D_3 D1=D2=D3，因此也可以发现，即使减小了噪声的幅度，但是对于较高频率的噪声，依然会产生较大斜率。
遇到高频噪声，那么微分器会产生较大的输出，从而最终对系统造成影响，这是我们不希望出现的结果，因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入PID控制器的计算，这里就需要低通滤波器将噪声滤除。
4 加入滤波器
低通滤波器可以滤除高频信号，这样保留了有效信号，可以设置所需的截止频率；
系统处理有效信号，由于低频部分信噪比较高，因此噪声对于系统的影响较小，而高频部分，信噪比就很低，这时候对于系统来说，噪声就会造成不小的影响，具体如下图所示；
信噪比：有效信号和噪声的比值，英文名称叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；
所以下面我们会在PID控制器的微分部分加入低通滤波器，这样对反馈的信号进行一部分处理，从而减小系统干扰，如下图所示；
4.1 传递函数
概念：拉普拉斯变换是对于 t > = 0 t>=0 t>=0 函数值不为零的连续时间函数 x ( t ) x(t) x(t) 通过关系式 (式中 − s t -st −st为自然对数底 e e e的指数)变换为复变量 s s s的函数 X ( s ) X(s) X(s)。它也是时间函数 x ( t ) x(t) x(t)的“复频域”表示方式。
也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中，这样可以便于系统进行分析。
下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换：
- 积分： 1 s \cfrac{1}{s} s1
- 微分： s s s
- 低通滤波器的传递函数： N s + N \cfrac{N}{s+N} s+NN
低通滤波器中的截止频率即为 N N N，单位是 r a d / s rad/s rad/s；
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
串联等效传递函数的关系为，两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积；
具体如下所示；
因此低通滤波串联微分的传递函数为：
s N s + N \cfrac{sN}{s+N} s+NsN
闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示；
这里我们可以使用负反馈积分的方式，构建等效于串联微分的传递函数，最终的传递函数结果是相同的，具体如下图所示；
串联微分的形式，可能在算法的实现上会更加直观，但是会比较费资源；
使用负反馈积分的等效形式进行实现，则进一步减少了算法的资源消耗，下面给出一个TI公司的PID算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。
5 C语言实现
这里直接使用了TI公司的PID算法，对于微分部分做了滤波的处理，并且使用的是负反馈积分的方式，
具体可以参考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.h
PID控制器的整体框图如下所示，我们只关心微分部分；
首先可以发现 u d u_d ud满足：
u d ( k ) = K d [ c 2 u i ( k − 1 ) + c 1 e ( k ) − c 1 e ( k − 1 ) ] u_d(k) = K_d\Big[c_2u_i(k-1)+c_1e(k)-c_1e(k-1) \Big] ud(k)=Kd[c2ui(k−1)+c1e(k)−c1e(k−1)]
这里滤波器有两个系数 c 1 c_1 c1和 c 2 c_2 c2，它们必须满足截止频率 a a a（单位Hz）和采样周期 T T T（单位秒）以下的关系：
{ c 1 = a c 2 = 1 − c 1 T \begin{cases}c_1 = a\\ c_2 = 1-c_1T \end{cases} { c1=ac2=1−c1T
C语言实现如下：
#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__
typedef struct { _iq Ref; // Input: reference set-point
_iq Fbk; // Input: feedback
_iq Out; // Output: controller output
_iq c1; // Internal: derivative filter coefficient 1
_iq c2; // Internal: derivative filter coefficient 2
} PID_TERMINALS;
// note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words
typedef struct { _iq Kr; // Parameter: reference set-point weighting
_iq Kp; // Parameter: proportional loop gain
_iq Ki; // Parameter: integral gain
_iq Kd; // Parameter: derivative gain
_iq Km; // Parameter: derivative weighting
_iq Umax; // Parameter: upper saturation limit
_iq Umin; // Parameter: lower saturation limit
} PID_PARAMETERS;
typedef struct { _iq up; // Data: proportional term
_iq ui; // Data: integral term
_iq ud; // Data: derivative term
_iq v1; // Data: pre-saturated controller output
_iq i1; // Data: integrator storage: ui(k-1)
_iq d1; // Data: differentiator storage: ud(k-1)
_iq d2; // Data: differentiator storage: d2(k-1)
_iq w1; // Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
} PID_DATA;
typedef struct { PID_TERMINALS term;
PID_PARAMETERS param;
PID_DATA data;
} PID_CONTROLLER;
#define PID_TERM_DEFAULTS { \ 0, \ 0, \ 0, \ 0, \ 0 \ }
#define PID_PARAM_DEFAULTS { \ _IQ(1.0), \ _IQ(1.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(1.0), \ _IQ(1.0), \ _IQ(-1.0) \ }
#define PID_DATA_DEFAULTS { \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(0.0), \ _IQ(1.0) \ }
#define PID_MACRO(v) \ \ \
v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk; \
\
\
v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1, \
(v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1; \
v.data.i1 = v.data.ui; \
\
\
v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1, \
(_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;\
v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1; \
v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2); \
\
\
v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp, \
(v.data.up + v.data.ui + v.data.ud)); \
v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin); \
v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);\
#endif // __PID_H__
6 参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter
自动控制原理 第五版 胡寿松 P47
虽然写的不一定是最好，但是每一个字、每一个公式都是用心码的，每一张图都是用心画的，每一句话都是加入了自己的理解，如果帮到了你，请无情三连吧；另外笔者能力有限，文中难免存在错误和纰漏，望轻拍指正。
