“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”，极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”，而数学分析研究的就是在实数域上如何准确的描述极限以及极限一些特殊的性质，从这篇博客开始，博主将带着各位从最基本的定义与极限的引入开始系统性的学习数学分析，此外由于笔者水平有限，文章如有出现错误还请各位读者能够帮忙及时指出。

一、数与数集

在中学的初等数学学习阶段，我们已经明确接触到了“数字”这个概念，由很多个数字共同组成的集合就叫做数集，例如由全体有理数组成的集合就叫做有理数集，而由全体实数组成的集合就叫做实数集。通常用小写字母来表示数，而用大写字母来表示数集，如果数 a a a在数集 A A A中，我们就称 a a a ∈ \in ∈ A A A,不然则称 a a a ∉ \notin ∈/​ A A A。在数学分析（微积分）中，我们以实数集和定义在实数集上的函数为研究对象，探索他们的概念以及相应引出的一些性质。
在初等数学阶段我们已经给出了两种关于实数集上的数的分类，即实数分为有理数与无理数，用小数语言来描述即为：有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数。换句话来说，有理数可以表示为 p / q p/q p/q( p p p ∈ \in ∈ Z Z Z， q q q ∈ \in ∈ Z Z Z)的分数形式，而无理数则不能。
下面我们引入一些实数集 R R R上面的重要性质，他们将有助于我们对实数的进一步讨论：
1.实数集 R R R对加减乘除的四则运算法则是封闭的，即任意两个实数的和，差，积，商（除数不为0）仍然是实数。
2.实数集具有有序性（三歧性），即任意两个实数 a a a， b b b必满足下列三个关系之一 a < b a<b a<b， a = b a=b a=b， a > b a>b a>b。
3.实数的大小具有传递性，若有 a > b a>b a>b， b > c b>c b>c ，则有 a > c a>c a>c。
4.实数具有阿基米德性，即对任意 a ， b ∈ R a，b\in R a，b∈R，若有b>a>0,则存在正整数n，使得 n a > b na>b na>b。
5.实数集 R R R具有稠密性，即对于任意的 a ≠ b a\neq b a​=b（不妨假设 a < b a<b a<b，一定存在有理数 c c c与无理数 d d d，满足 a < c < b , a < d < b a<c<b,a<d<b a<c<b,a<d<b。
6.实数集上的点与数轴上的点一一对应，即每一个实数集上的点都有唯一的一个数轴上的点与之相对应。

二、一些重要的数集与确界原理

1.区间：

对于 a , b ∈ R a,b\in R a,b∈R（不妨假设 a ≤ b a\leq b a≤b），我们称数集{ x ∣ a < x < b {x|a<x<b} x∣a<x<b}为开区间，记作 ( a , b ) (a,b) (a,b)；数集{ x ∣ a ≤ x ≤ b {x|a\leq x\leq b} x∣a≤x≤b}称为闭区间，记作 [ a , b ] [a,b] [a,b]；相似的我们可以定义出{ x ∣ a ≤ x < b {x|a\leq x< b} x∣a≤x<b}这样的半开半闭区间，记作 [ a , b ) [a,b) [a,b)。此外，我们定义对应{ x ∣ x > a x|x>a x∣x>a}的区间为 ( a , + ∞ ) (a,+\infty) (a,+∞)，而对应{ x ∣ x < a x|x<a x∣x<a}的区间为 ( − ∞ , a ) (-\infty,a) (−∞,a),这样子，我们就把数集和区间建立出了一种联系，理论上来说，任何一个数集都可以用有限个或者无限个区间表示出来。例如：{1,2,3}可以表示为 [ 1 , 1 ] ⋃ [ 2 , 2 ] ⋃ [ 3 , 3 ] [1,1]\bigcup[2,2]\bigcup[3,3] [1,1]⋃[2,2]⋃[3,3]

2.邻域：

设 a ∈ R a\in R a∈R，则满足绝对值不等式 ∣ x − a ∣ < δ |x-a|<\delta ∣x−a∣<δ的全体实数x的集合称为是点a的 δ \delta δ邻域，记作 U ( a ； δ ) U(a；\delta) U(a；δ)，或者简单的写为 U ( a ) U(a) U(a)，很明显，邻域可以用区间表示为 ( a − δ , a + δ ) (a-\delta , a+\delta) (a−δ,a+δ);此外我们可以定义出点 a a a的空心 δ \delta δ邻域 U 0 ( a , δ ) U^0(a,\delta) U0(a,δ)，空心 δ \delta δ邻域即不包括点 a a a的邻域。
还有几种特殊的邻域如下：
点 a a a的 δ \delta δ右邻域 U + ( a , δ ) = [ a , a + δ ) U_+(a,\delta)=[a,a+\delta) U+​(a,δ)=[a,a+δ),简记为 U + ( a ) U_+(a) U+​(a);
点 a a a的 δ \delta δ左邻域 U − ( a , δ ) = ( a − δ , a ] U_-(a,\delta)=(a-\delta,a] U−​(a,δ)=(a−δ,a],简记为 U − ( a ) U_-(a) U−​(a);
(相应的，记点 a a a的空心 δ \delta δ左右邻域分别为 U + 0 ( a , δ ) U^0_+(a,\delta) U+0​(a,δ)与 U − 0 ( a , δ ) U^0_-(a,\delta) U−0​(a,δ)。

3.确界原理

确界原理的内容：若数集有上界，则数集一定有上确界；若数集有下界，则数集一定有下确界。

（1）数集的上界与下界

首先我们对数集引入上界与下界的定义：
对于实数域R中的一个数集 A A A，如果一个数 M s t . Mst. Mst.大于等于 A A A中的所有元素，那么称 M M M是数集 A A A的一个上界，如果 M M M小于等于 A A A中所有的元素，那么称 M M M是数集 A A A的一个下界。
显然，如果对一个数集我们可以找到上界（下界），则称这个数集是有上界（下界）的。
用数学语言可以描述为 ∃ M ∈ R , s t . ∀ x ∈ A 都 有 x < = M ， 那 么 A 有 上 界 \exists M\in R,st.\forall x\in A 都有x<=M，那么A有上界 ∃M∈R,st.∀x∈A都有x<=M，那么A有上界如果一个数集既有上界也有下界，我们就说这个数集是有界的，反之数集就是无界的

（2）上确界与下确界

接下来我们引入上确界与下确界的定义：
设 S S S是 R R R中的一个数集，如果存在一个数 η \eta η满足：
(i) η \eta η是 S S S的上界；
(ii)对于任意的 α < η \alpha <\eta α<η，存在 x 0 ∈ S x_0\in S x0​∈S，使得 x 0 > α x_0>\alpha x0​>α;
那么我们就称 η \eta η是S的上确界，记作 η = s u p S \eta = supS η=supS.
(ii)说明了任何一个比 η \eta η小的数都不是 S S S的上界，这就是说上确界 η \eta η是 S S S的所有上界中的最小上界。类似的，我们可以定义出下确界 ξ = i n f S \xi =infS ξ=infS，下确界就是所有下界中的最小下界。

（3）确界原理的简单证明

至此我们已经给出了上界与下界，上确界与下确界的准确定义，下面我们来证明确界原理。事实上，我们只需要证明出上确界的情况即可，下确界的情况可以类似证明出来。
设 S S S为有上界的非空数集，即 ∃ M s t . ∀ x ∈ S ， x < M \exists Mst.\forall x\in S，x<M ∃Mst.∀x∈S，x<M。我们令 E E E={ x ∣ x x|x x∣x是 S S S的上界且 x ≤ M x\leq M x≤M}，很明显 E E E不是空集，对于 E E E我们有 ∀ y 1 ， y 2 ∈ E ， ∀ a ∈ [ 0 , 1 ] ， 都 有 b = a y 1 + ( 1 − a ) y 2 ≥ m i n ( y 1 , y 2 ) , 故 b ∈ E \forall y1，y2\in E，\forall a\in[0,1]，都有b=ay1+(1-a)y2\geq min(y1,y2),故b\in E ∀y1，y2∈E，∀a∈[0,1]，都有b=ay1+(1−a)y2≥min(y1,y2),故b∈E，所以说 E E E是一个区间，因此要证明出存在上确界只需要证明出 E E E中存在一个最小的数即可。
不妨假设 E E E中不存在一个最小的数，即 E = ( a , M ] E=(a,M] E=(a,M]，则 a a a不是 S S S的上界，因此在 S S S中一定存在一个数 x 0 > a x_0>a x0​>a，则有 a < x 0 + a 2 < x 0 a<\frac{x_0+a}{2}<x_0 a<2x0​+a​<x0​，由于 x 0 > x 0 + a 2 x_0>\frac{x_0+a}{2} x0​>2x0​+a​，因此 x 0 + a 2 \frac{x_0+a}{2} 2x0​+a​不是 S S S的上界，这与 E E E的定义相矛盾，故可以证明出 E E E中必定存在一个最小的数。至此确界原理得到证明。
确界原理是极限理论的重要基础，同时也是实数具有完备性的充分反映。

三、数列极限的引入

若无穷数列{ a n a_n an​}有定义： ∃ a ∈ R ， 对 于 ∀ ϵ > 0 , 总 是 ∃ N ∈ N + , s t . n > N 有 ∣ a n − a ∣ < ϵ \exists a\in R，对于\forall \epsilon>0,总是\exists N\in \N^+,st.n>N有|a_n-a|<\epsilon ∃a∈R，对于∀ϵ>0,总是∃N∈N+,st.n>N有∣an​−a∣<ϵ那么我们就说数列{ a n a_n an​}s是收敛的且数列收敛于 a a a，或者说 a a a是数列{ a n a_n an​}的极限。并记作 lim ⁡ n → ∞ a n = a \lim_{n\to\infty}a_n=a limn→∞​an​=a
例如对于 a n = 1 n a_n=\frac{1}{n} an​=n1​，对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ∀ϵ>0，只要取 N = [ 1 ϵ ] N=[\frac{1}{\epsilon}] N=[ϵ1​]（即 1 ϵ \frac{1}{\epsilon} ϵ1​取整），就能保证 ∣ a n − 0 ∣ < ϵ |a_n-0|<\epsilon ∣an​−0∣<ϵ，即有 lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 limn→∞​n1​=0，这种通过放缩不等式来找到 N N N去保证 ∣ a n − a ∣ < ϵ |a_n-a|<\epsilon ∣an​−a∣<ϵ的做法就叫做数列极限的定义求法。
事实上 ∣ a n − a ∣ < ϵ |a_n-a|<\epsilon ∣an​−a∣<ϵ也就是指 a n a_n an​位于邻域 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ)之中，上述关于数列极限的定义也就是对于任意大的一个 U ( a ) U(a) U(a)邻域外都只有有限个数列上的点，这就是数列极限的几何意义。
数列{ a n a_n an​}本身拥有无穷多个元素，而极限则给出了一种方式可以让我们通过有限的过程去描绘一个无限的数列，在这里我们引入了无穷这个概念，无穷是整个数学分析（微积分）的一个核心概念，将会贯穿我们整个的学习过程，在后续的博客中我会给大家将会重点介绍无穷的概念。
最后我们再引入两个重要的数列极限：
如果 lim ⁡ n → ∞ a n = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=0 limn→∞​an​=0，我们称{ a n a_n an​}是无穷小数列；
如果 lim ⁡ n → ∞ a n = ∞ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty limn→∞​an​=∞，我们称{ a n a_n an​}是无穷大数列或一个无穷大量。