3D变换

• Use Homogeneous coordinates
• 三维空间中的变换矩阵

文章资源及内容来自 闫令琪博士的GAMES101课程

Use Homogeneous coordinates

我们使用齐次坐标，在三维空间中点和向量的表示如下
3D point = (x,y,z,1)T
3D vertex = (x,y,z,0)T
一般情况下，(x,y,z,w),若w = 0，则表示这是个向量。
若w≠0，且w = 1，则表示三维坐标中的一个点。

那么，当w≠1的时候，我们可以定义以下的运算：
（x/w ，y/w ，z/w ，1）
我们可以得出一个结论，其实x,y,z,w在三维空间中的点的表示，实际上是这样：
（x/w ，y/w ，z/w ）

我们上一章说，在三维空间中，也可以用齐次坐标来表示变换，只是原本从3X3的矩阵变成了4X4的矩阵，而这个4X4的矩阵还是满足一定的规律的，大概如下图：

和二维空间一样，我们在三维空间的变换中，先应用线性变换，再应用平移变换。

三维空间中的变换矩阵

类比的来看，我们可以从二维空间的变换中得到三维空间的变换矩阵。
首先是缩放矩阵：

X、Y和Z可以自由的缩放，缩放的轴可以各不相同，每一个缩放都会影响自己的轴。
然后是平移矩阵：

平移也是一样，每个轴的平移都影响的是自己。
最复杂的是旋转矩阵。我们先从简单的按轴旋转写

以上分别是按X轴旋转，按Y轴旋转，按Z轴旋转。

我们发现当一个面绕着X轴旋转时，X轴的坐标是不变的，Y轴和Z轴都在进行旋转，反应再矩阵的第一行就是1，0，0
同理，可以推出绕着Y轴旋转和绕着Z轴旋转的情况。

我们发现沿着Y轴旋转时和另外两个轴不同在于，-sinα与sinα交换了位置。我们由上面的示意图可以看出，向量X与向量Z的叉乘得到－Y（右手定则）。图中的Y是由向量Z与向量X叉乘得到的，所以是反的。

这就是三维空间中最简单的按轴旋转。
进行复杂的旋转时，我们可以用简单的旋转进行表示。如

任意一个3D旋转，都可以写成按X轴Y轴Z轴的组合，旋转的量分别为α、β、γ角，这三个角也叫欧拉角
如果我们要沿着任意轴旋转，我们可以先把这个轴的起点平移到原点，旋转完成之后再平移回去。

在二维平面中，如果我们不采用齐次坐标的方式来表示旋转，一般会用以下坐标来表示：

那我们如果旋转-θ角度，则

我们学的高中三角函数可以得到
COS(-θ)=COSθ
SIN(-θ)=-SINθ
这两个矩阵对比我们可以发现，旋转-θ形成的矩阵就等于旋转θ形成的矩阵的转置
从定义上看，旋转θ和旋转-θ是一个互逆的操作，所以Rθ与R-θ是互逆的，而且R-θ=Rθт
所以Rθ其实是个正交矩阵