题目描述

L国一共有N座城镇，开始时它们两两不连通。L国计划依次建造N-1条道路，把所有城镇连通起来。每建完一条道路，你需要回答这条道路所在连通块内距离最远的两座城镇之间的距离。两座城镇之间的距离定义为从一座走到另一座所需要经过的最少道路数。

输入

第一行一个整数N，表示城镇的数量。
接下来N-1行，每行两个整数ai,bi表示接下来建的道路连通的两座城镇。
保证N-1条道路能够使所有城镇连通。

输出

输出N-1行，每行一个整数表示建完第i条道路后的答案。

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题目大意：

中文题意

题目思路：

首先要明白求树的直径的一种方法

双bfs或者双dfs搜索

求直径的方法：选择一个点A出发，找到和他相距最远的的B，然后从点B出发，找到相距最远的点Q，BQ即为直径

proof:

1.首先很容易得到，如果B在直径上，那么Q必然是直径的一个端点，成立

2.如果B不在直径上，采取反证法

假设BQ 不是直径 XY是直径 

如果AB与XY有交点C

 假设XY是直径所以XC + CY > CB+CY，所以XC > XB，但是B是相距A最远的点，所以得证

如果AB与XY没有交点,AB任取一点M,XY任取一点N

由假设知:MN + NY + BM < NY + NX

所以MN + BM < NX

所以NX + MN > BM

AM + MN + NX > AM + BM

与假设B为最远的点矛盾

所以不成立

了解这个结论以后，就可以看接下来这个性质：

在合并两个子树时，新的直径只会产生于 两个子树直径的四个端点之中

proof：

根据上述证明，假设第一个子树的直径俩端点分别为a,b 那么可以假设从a出发找到了相距最远的点b，然后从b出发找到最远的点，那么在本子树内最远的点一定是a

那么在另一颗子树内，最远的点为何是直径两点之一呢？

很容易证明，如果链接的点刚好在直径上，那么只能连向下一棵子树的两个直径端点

如果使得两颗子树相连的边不在直径上吗，那么她一定可以通过一些边连到直径上并且只能这么相连，因为如果还有别的路径的话，直径也会改变

综上可以考虑6种情况.

过程中用并查集维护一下当前连通块的两个端点是谁即可

因为过程整体是树，所以不可能出现环，1是方便了维护，2是直接用lca 求距离即可

Code:

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
ll n,m,p;
int deep[maxn];
int f[maxn][21];
vector<int>v[maxn];
void dfs(int u,int fa)
{
    deep[u]=deep[fa]+1;
    f[u][0]=fa;
    for(int i=1;(1<<i)<=deep[u];i++)
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(int e:v[u])
        if(e!=fa) dfs(e,u);
}
int LCA(int u,int v)
{
    if(deep[u]<deep[v]) swap(u,v);
    for(int i=20;i>=0;i--)   if(deep[f[u][i]]>=deep[v]) u=f[u][i];
    if(u==v) return u;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(f[u][i]!=f[v][i]){
            u=f[u][i];
            v=f[v][i];
        }
    }
    return f[u][0];
}
ll ans = 0;
pair<int,int>q[maxn];
int pre[maxn],s[maxn],t[maxn];
int dis(int a,int b){
    return deep[a] + deep[b] - 2*deep[LCA(a,b)];
}
void cmp(int &x,int &y,int &w,int a,int b){
    if(dis(a,b) > w){
        w = dis(a,b);
        x = a;
        y = b;
    }
}
int Find(int x){
    return pre[x] == x?x:pre[x] = Find(pre[x]);
}
int Merge(int x,int y){
    int res = 0;
    int dx = Find(x),dy = Find(y);
    int a = s[dx],b = t[dx],c = s[dy],d = t[dy];
    pre[dx] = dy;///dx - > dy
    cmp(s[dy],t[dy],res,a,b);
    cmp(s[dy],t[dy],res,a,c);
    cmp(s[dy],t[dy],res,a,d);
    cmp(s[dy],t[dy],res,b,c);
    cmp(s[dy],t[dy],res,b,d);
    cmp(s[dy],t[dy],res,c,d);
    return res;
}
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[i] = s[i] = t[i] = i;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        q[i].first =  x;
        q[i].second = y;
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,1);
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        printf("%d\n",Merge(q[i].first,q[i].second));
    }
    return 0;
}