原本一直想再系统地回顾一遍基本的数据结构与算法，正好借着Datawhale八月份组队学习的契机，总结一下经典的算法思想，本篇文章主要介绍分治算法的原理，并解决LeetCode上三道可以用递归思想解决的题目。

文章目录

• 一、分治思想的原理
• 二、编程实战
• 2.1 第169题多数元素
• 2.2 第53题最大子序和
• 2.3 第50题Pow(x,n)

一、分治思想的原理

• 主要思想

分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题，直到子问题满足边界条件，停止递归。将子问题逐个击破(一般是同种方法)，将已经解决的子问题合并，最后，算法会层层合并得到原问题的答案。

• 步骤

1. 分：递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题)；
2. 治：将这些规模更小的子问题逐个击破；
3. 合：将已解决的子问题逐层合并，最终得出原问题的解；

• 适用的情况

1. 原问题的计算复杂度随着问题的规模的增加而增加。
2. 原问题能够被分解成更小的子问题。
3. 子问题的结构和性质与原问题一样，并且相互独立，子问题之间不包含公共的子子问题。
4. 原问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。

二、编程实战

2.1 第169题多数元素

• 题目描述

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

• 我的解决方案

from collections import defaultdict # 默认字典
class Solution:
    def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
        dict = defaultdict(int) # 参数为键值的默认值
        for i in nums:
            dict[i] += 1
        for key, value in dict.items():
            if value > int(len(nums)/2):
                return key

我的思路最开始想到的就是Python内部自带的默认字典defaultdict，遍历数组统计每个元素出现的次数，次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 即为结果。

• 分治算法标准答案

class Solution(object):
    def majorityElement(self, nums):
        # 不断切分的终止条件
        if not nums:
            return None
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        # 准备数据，并将大问题拆分为小问题
        left = self.majorityElement(nums[:len(nums)//2])
        right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2:])
        # 处理子问题，得到子结果
        # 对子结果进行合并 得到最终结果
        if left == right:
            return left
        if nums.count(left) > nums.count(right):
            return left
        else:
            return right    

2.2 第53题最大子序和

• 题目描述

给定一个整数数组nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

• 暂时没想到可行的解决方案

• 分治算法标准答案

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        # 【确定不断切分的终止条件】
        n = len(nums)
        if n == 1:
            return nums[0]
        # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
        left = self.maxSubArray(nums[:len(nums)//2])
        right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2:])
        # 【处理小问题，得到子结果】
        #　从右到左计算左边的最大子序和
        max_l = nums[len(nums)//2 -1] # max_l为该数组的最右边的元素
        tmp = 0 # tmp用来记录连续子数组的和
        for i in range(len(nums)//2-1, -1, -1):# 从右到左遍历数组的元素
            tmp += nums[i]
            max_l = max(tmp ,max_l)
        # 从左到右计算右边的最大子序和
        max_r = nums[len(nums)//2]
        tmp = 0
        for i in range(len(nums)//2,len(nums)):
            tmp += nums[i]
            max_r = max(tmp,max_r)
        # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
        # 返回三个中的最大值
        return max(left, right, max_l+max_r)

2.3 第50题Pow(x,n)

• 题目描述

给定一个整数数组nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

• 我的解决方案

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        return x ** n

目前只联想到了Python内置的解决方案。

• 分治算法标准答案

class Solution(object):
    def myPow(self, x, n):
        # 处理n为负的情况
        if n < 0 :
            x = 1/x
            n = -n
        # 【确定不断切分的终止条件】
        if n == 0 :
            return 1
        # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
        if n%2 ==1:
          # 【处理小问题，得到子结果】
          p = x * self.myPow(x, n-1)# 【对子结果进行合并 得到最终结果】
          return p
        return self.myPow(x*x, n/2)