网上关于PID算法的文章很多，但是感觉有必要自己再进行一次总结，抽丝剥茧地重新认识了一下PID；

文章目录

• 1 前言
• 2 开环控制
• 3 闭环控制
• 4 PID
• 4.1 系统架构
• 4.2 理论基础
• 4.3 离散化
• 4.4 伪算法
• 5 C++实现
• 6 总结

1 前言

控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统，在闭环系统的控制中，PID算法非常强大，其三个部分分别为；

• P：积分环节；
• I：比例环节；
• D：微分环节；

PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正，因此被广泛地应用于工业控制系统。

2 开环控制

首先来看开环控制系统，如下图所示，隆哥蒙着眼，需要走到虚线旗帜所表示的目标位置，由于缺少反馈（眼睛可以感知当前距离和位置，由于眼睛被蒙上没有反馈，所以这也是一个开环系统），最终隆哥会较大概率偏离预期的目标，可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。

开环系统的整体结构如下所示；

这里做一个不是很恰当的比喻；

• Input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
• Controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
• Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；

看来没有反馈的存在，很难准确到达目标位置。

3 闭环控制

所以为了准确到达目标位置，这里就需要引入反馈，具体如下图所示；

在这里继续举个不怎么恰当的比喻；隆哥重获光明之后，基本可以看到目标位置了；

• 第一步Input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
• 第二步Controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
• 第三步Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
• 第四步Feedback：通过视觉获取到目前已经前进的距离，（比如前进了2米，那么还有8米的偏差）；
• 第五步err：根据偏差重新计算所需要的步数，然后重复上述四个步骤，最终隆哥达到最终的目标位置。

4 PID

4.1 系统架构

虽然在反馈系统下，隆哥最终到达目标位置，但是现在又来了新的任务，就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller，只要适当调整P，I和D的参数，就可以到达目标位置，具体如下图所示；

隆哥为了最短时间内到达目标位置，进行了不断的尝试，分别出现了以下几种情况；

• 跑得太快，最终导致冲过了目标位置还得往回跑；
• 跑得太慢，最终导致到达目标位置所用时间太长；

经过不断的尝试，终于找到了最佳的方式，其过程大概如下图所示；

这里依然举一个不是很恰当的比喻；

• 第一步：得到与目标位置的距离偏差（比如最开始是10米，后面会逐渐变小）；
• 第二步：根据误差，预估需要多少速度，如何估算呢，看下面几步；

P比例则是给定一个速度的大致范围，满足下面这个公式；
K p ∗ e ( t ) K_p*e(t) Kp​∗e(t)
因此比例作用相当于某一时刻的偏差（err）与比例系数 K p K_p Kp​的乘积，具体如下所示；

绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化；
红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化，两者为互补的关系；

I积分则是误差在一定时间内的和，满足以下公式；
K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ K_i\int_{_0}^te(\tau)d\tau Ki​∫0​t​e(τ)dτ

如下图所示；
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果，其不断累积的误差，最终乘以积分系数 K i K_i Ki​就得到了积分部分的输出；

D微分则是误差变化曲线某处的导数，或者说是某一点的斜率，因此这里需要引入微分；
K d d e ( t ) d t K_d \cfrac{de(t)}{dt} Kd​dtde(t)​

从图中可知，当偏差变化过快，微分环节会输出较大的负数，作为抑制输出继续上升，从而抑制过冲。

综上， K p ， K i ， K d K_p，K_i，K_d Kp​，Ki​，Kd​，分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示；

参数	上升时间	超调量	响应时间	稳态误差	稳定性
K p K_p Kp​	减少	增加	小变化	减少	降级
K i K_i Ki​	减少	增加	增加	消除	降级
K d K_d Kd​	微小的变化	减少	减少	理论上没有影响	K d K_d Kd​小，稳定性会提升

4.2 理论基础

上面扯了这么多，无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用，下面开始推导一下算法实现的具体过程；PID控制器的系统框图如下所示；

因此不难得出输入 e ( t ) e(t) e(t)和输出 u ( t ) u(t) u(t)的关系；

u ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ + K d d e ( t ) d t u(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\cfrac{de(t)}{dt} u(t)=Kp​e(t)+Ki​∫0t​e(τ)dτ+Kd​dtde(t)​

K p K_p Kp​是比例增益；
K i K_i Ki​是积分增益；
K d K_d Kd​是微分增益；

4.3 离散化

在数字系统中进行PID算法控制，需要对上述算法进行离散化；假设系统采样时间为 Δ t \Delta t Δt
则将输入 e ( t ) e(t) e(t)序列化得到；

( e 0 , e 1 , e 2 , ⋯   , e n − 2 , , e n − 1 , e n ) (e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-2},,e_{n-1},e_{n}) (e0​,e1​,e2​,⋯,en−2​,,en−1​,en​)

将输出 u ( t ) u(t) u(t)序列化得到；
( u 0 , u 1 , u 2 , ⋯   , u n − 2 , , u n − 1 , u n ) (u_0,u_1,u_2,\cdots,u_{n-2},,u_{n-1},u_{n}) (u0​,u1​,u2​,⋯,un−2​,,un−1​,un​)

• 比例项： K p e ( t ) → 离 散 化 K p e k K_pe(t)\xrightarrow{离散化}K_pe_k Kp​e(t)离散化 ​Kp​ek​
• 积分项： K i ∫ 0 t k e ( τ ) d τ → 离 散 化 K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t K_i\int_0^{t_k}e(\tau)d\tau\xrightarrow{离散化}K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t Ki​∫0tk​​e(τ)dτ离散化 ​Ki​i=1∑k​e(i)Δt
• 微分项： K d d e ( t k ) d t → 离 散 化 K d e ( k ) − e ( k − 1 ) Δ t K_d\cfrac{de(t_k)}{dt}\xrightarrow{离散化}K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t} Kd​dtde(tk​)​离散化 ​Kd​Δte(k)−e(k−1)​

所以最终可以得到式①，也就是网上所说的位置式PID：
u ( k ) = K p e k + K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t + K d e ( k ) − e ( k − 1 ) Δ t \color{#0000FF} u(k)=K_pe_k+K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t+K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t} u(k)=Kp​ek​+Ki​i=1∑k​e(i)Δt+Kd​Δte(k)−e(k−1)​
将式①再做一下简化；
Δ u ( k ) = u ( k ) − u ( k − 1 ) \Delta u(k) = u(k) - u(k-1) Δu(k)=u(k)−u(k−1)
最终得到增量式PID的离散公式如下：

Δ u ( k ) = K p ( e ( k ) − e ( k − 1 ) ) + K i e ( k ) + K d ( e ( k ) − 2 e ( k − 1 ) + e ( k − 2 ) ) \Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_ie(k)+K_d \Big( e(k)-2e(k-1)+e(k-2) \Big) Δu(k)=Kp​(e(k)−e(k−1))+Ki​e(k)+Kd​(e(k)−2e(k−1)+e(k−2))

4.4 伪算法

这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法；

previous_error := 0		//上一次偏差
integral := 0			//积分和

//循环 
//采样周期为dt
loop:
	//setpoint 设定值
	//measured_value 反馈值
    error := setpoint − measured_value	//计算得到偏差
    integral := integral + error × dt	//计算得到积分累加和
    derivative := (error − previous_error) / dt	//计算得到微分
    output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative	//计算得到PID输出
    previous_error := error	//保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差
    wait(dt)	//等待下一次采用
    goto loop

5 C++实现

这里是增量式PID算法的C语言实现；

pid.cpp

#ifndef _PID_SOURCE_
#define _PID_SOURCE_

#include <iostream>
#include <cmath>
#include "pid.h"

using namespace std;

class PIDImpl
{
    public:
        PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );
        ~PIDImpl();
        double calculate( double setpoint, double pv );

    private:
        double _dt;
        double _max;
        double _min;
        double _Kp;
        double _Kd;
        double _Ki;
        double _pre_error;
        double _integral;
};


PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki )
{
    pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);
}
double PID::calculate( double setpoint, double pv )
{
    return pimpl->calculate(setpoint,pv);
}
PID::~PID() 
{
    delete pimpl;
}



PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) :
    _dt(dt),
    _max(max),
    _min(min),
    _Kp(Kp),
    _Kd(Kd),
    _Ki(Ki),
    _pre_error(0),
    _integral(0)
{
}

double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv )
{
    
    // Calculate error
    double error = setpoint - pv;

    // Proportional term
    double Pout = _Kp * error;

    // Integral term
    _integral += error * _dt;
    double Iout = _Ki * _integral;

    // Derivative term
    double derivative = (error - _pre_error) / _dt;
    double Dout = _Kd * derivative;

    // Calculate total output
    double output = Pout + Iout + Dout;

    // Restrict to max/min
    if( output > _max )
        output = _max;
    else if( output < _min )
        output = _min;

    // Save error to previous error
    _pre_error = error;

    return output;
}

PIDImpl::~PIDImpl()
{
}

#endif

pid.h

#ifndef _PID_H_
#define _PID_H_

class PIDImpl;
class PID
{
    public:
        // Kp - proportional gain
        // Ki - Integral gain
        // Kd - derivative gain
        // dt - loop interval time
        // max - maximum value of manipulated variable
        // min - minimum value of manipulated variable
        PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );

        // Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value
        double calculate( double setpoint, double pv );
        ~PID();

    private:
        PIDImpl *pimpl;
};

#endif

pid_example.cpp

#include "pid.h"
#include <stdio.h>

int main() {

    PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5);

    double val = 20;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        double inc = pid.calculate(0, val);
        printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f\n", val, inc);
        val += inc;
    }

    return 0;
}

编译并测试；

g++ -c pid.cpp -o pid.o
# To compile example code:
g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example

6 总结

本文总结了PID控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用，每个环节可能对系统输出造成什么样的变化，给出了位置式和增量式离散PID算法的推导过程，并给出了位置式算法的C++程序实现。

由于作者能力和水平有限，文中难免存在错误和纰漏，请不吝赐教。