文章目录
- 1. 线性支持向量机分类
- 2. 非线性支持向量机分类
- 2.1 多项式核
- 2.2 高斯 RBF 核
- 3. 支持向量机回归
- 4. 原理
本文为《机器学习实战：基于Scikit-Learn和TensorFlow》的读书笔记。
中文翻译参考
SVM 特别适合应用于复杂但中小规模数据集的分类问题。
可参考：《统计学习方法》支持向量机（Support Vector Machines，SVM） 笔记
1. 线性支持向量机分类
- 硬间隔最大化：数据必须线性可分，间隔内无数据点
- 软件间隔最大化：允许部分点在间隔内，甚至越过分类线，使用超参数 c 控制
较小的 c：惩罚小，间隔更大，较大的 c：惩罚大，间隔小
如果 SVM 模型过拟合，可以尝试通过减小超参数C去调整
SVM 对特征缩放比较敏感
2. 非线性支持向量机分类
很多时候，数据是线性不可分的，我们可以增加特征，下图左侧数据线性不可分，增加 x2 项以后就可分了
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
import numpy as np
X, y = make_moons(n_samples=100, noise=0.15, random_state=1)
def plot_dataset(X, y, axes):
plt.plot(X[:, 0][y==0], X[:, 1][y==0], "bs")
plt.plot(X[:, 0][y==1], X[:, 1][y==1], "g^")
plt.axis(axes)
plt.grid(True, which='both')
plt.xlabel(r"$x_1$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"$x_2$", fontsize=20, rotation=0)
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plt.show()
ploynomial_svm_clf = Pipeline((
("ploy_features",PolynomialFeatures(degree=3)),
("scaler",StandardScaler()),
("svm_clf",LinearSVC(C=10, loss="hinge"))
))
ploynomial_svm_clf.fit(X,y)
def plot_predictions(clf, axes):
x0s = np.linspace(axes[0], axes[1], 100)
x1s = np.linspace(axes[2], axes[3], 100)
x0, x1 = np.meshgrid(x0s, x1s)
X = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
y_pred = clf.predict(X).reshape(x0.shape)
y_decision = clf.decision_function(X).reshape(x0.shape) # 样本点到分割超平面的函数距离
plt.contourf(x0, x1, y_pred, cmap=plt.cm.brg, alpha=0.2)
plt.contourf(x0, x1, y_decision, cmap=plt.cm.brg, alpha=0.1)
plot_predictions(ploynomial_svm_clf, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
# save_fig("moons_polynomial_svc_plot")
plt.show()
2.1 多项式核
- 添加多项式特征，产生了大量的特征，使模型变慢
- 使用
核技巧，可以取得同等的效果，同时没有特征组合爆炸
from sklearn.svm import SVC
poly_kernel_svm_clf = Pipeline([
("scaler", StandardScaler()),
("svm_clf", SVC(kernel="poly", degree=3, coef0=1, C=5))
])
poly_kernel_svm_clf.fit(X, y)
poly100_kernel_svm_clf = Pipeline([
("scaler", StandardScaler()),
("svm_clf", SVC(kernel="poly", degree=10, coef0=100, C=5))
])
poly100_kernel_svm_clf.fit(X, y)
plt.figure(figsize=(11, 4))
plt.subplot(121)
plot_predictions(poly_kernel_svm_clf, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plt.title(r"$d=3, r=1, C=5$", fontsize=18)
plt.subplot(122)
plot_predictions(poly100_kernel_svm_clf, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plt.title(r"$d=10, r=100, C=5$", fontsize=18)
# save_fig("moons_kernelized_polynomial_svc_plot")
plt.show()
- 如果模型过拟合，可以减小多项式核的阶数，欠拟合则增大阶数
- 超参数
coef0控制高阶多项式与低阶多项式对模型的影响
2.2 高斯 RBF 核
gamma1, gamma2 = 0.1, 5
C1, C2 = 0.001, 1000
hyperparams = (gamma1, C1), (gamma1, C2), (gamma2, C1), (gamma2, C2)
svm_clfs = []
for gamma, C in hyperparams:
rbf_kernel_svm_clf = Pipeline([
("scaler", StandardScaler()),
("svm_clf", SVC(kernel="rbf", gamma=gamma, C=C))
])
rbf_kernel_svm_clf.fit(X, y)
svm_clfs.append(rbf_kernel_svm_clf)
plt.figure(figsize=(11, 7))
for i, svm_clf in enumerate(svm_clfs):
plt.subplot(221 + i)
plot_predictions(svm_clf, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
gamma, C = hyperparams[i]
plt.title(r"$\gamma = {}, C = {}$".format(gamma, C), fontsize=16)
plt.show()
- 增大 γ 使钟型曲线更窄，在单个样本周围环绕
- 较小 γ 使钟型曲线更宽，样本有更大的影响范围，判定边界最终则更加平滑
- 如果模型过拟合，减小γ值，若欠拟合，增大γ
计算复杂度
3. 支持向量机回归
回归：在间隔内放置尽可能多的样本点
from sklearn.svm import LinearSVR
svm_reg = LinearSVR(epsilon=1.5, random_state=1)
间隔大小由 ϵ \epsilon ϵ 控制
from sklearn.svm import SVR
svm_poly_reg1 = SVR(kernel="poly", degree=2, C=100, epsilon=0.1, gamma="auto")
svm_poly_reg2 = SVR(kernel="poly", degree=2, C=0.01, epsilon=0.1, gamma="auto")
多项式核化的非线性SVM
4. 原理
y ^ = { 0 if w T x + b < 0 1 if w T x + b ≥ 0 \hat{y}=\left\{\begin{array}{l}0 \text { if } \mathbf{w}^{T} \mathbf{x}+b<0 \\ 1 \text { if } \mathbf{w}^{T} \mathbf{x}+b \geq 0\end{array}\right. y^={0 if wTx+b<01 if wTx+b≥0
- 两个平面的交界线，决策边界
- 虚线表示：决策函数等于 1 或 -1 的点：它们平行，且到决策边界的距离相等，形成一个间隔
- 训练线性 SVM 分类器意味着找到w值和b值使得这一个间隔尽可能大，同时避免间隔违规（硬间隔）或限制它们（软间隔）
