麦克斯韦方程组（详细）
1 安培环路定律
在真空中，磁场强度 H \mathbf{H} H沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。
∮ l H ⋅ d l = ∑ i = 1 n I i \oint_{l}\mathbf{ H} \cdot d l=\sum_{i=1}^{n} I_{i} ∮lH⋅dl=i=1∑nIi
根据麦克斯韦提出的位移电流假设,得到全电流定律
∮ l H ⋅ d l = ∫ S ( J c + ∂ D ∂ t ) ⋅ d S {\color{Red} \oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{S}\left(\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}} ∮lH⋅dl=∫S(Jc+∂t∂D)⋅dS
该式子表明，磁场不仅由传到电流产生，也能由变化的电流产生，即位移电流产生。
2 法拉第电磁感应定律
磁场中的一个闭合导体回路由于某种原因引起穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生了感应电流，表示回路中感应出了电动势，且感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率
E i n = − d Ψ d t \mathscr{E}_{\mathrm{in}}=-\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} t} Ein=−dtdΨ
麦克斯韦将法拉第电磁感应定律的应用范围推广到介质或真空中的任意闭合曲线的情况，表示为
∮ l E ⋅ d l = − ∫ S ∂ B ∂ t ⋅ d S {\color{Red} \oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot d l=-\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S}} ∮lE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS
3 电流连续性方程
在系统内，电荷可以从一个物体转移到另一个物体上，或者在一个物体内部移动，但在任意时刻系统内正负电荷的代数和总是恒定的。
∮ S J c ⋅ d S = − ∫ V ∂ ρ V ∂ t d V {\color{Red} \oint_{S} \boldsymbol{J}_{c} \cdot d \boldsymbol{S}=-\int_{V} \frac{\partial \rho_{V}}{\partial t} d V} ∮SJc⋅dS=−∫V∂t∂ρVdV
4 电场的高斯定律
穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷
∮ S E ⋅ d S = 1 ε 0 ∫ V ρ V d V \oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho_{V} \mathrm{d} V ∮SE⋅dS=ε01∫VρVdV
或者
∮ S D ⋅ d S = ∫ V ρ V d V {\color{Red}\oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\int_{V} \rho_{V} \mathrm{d} V} ∮SD⋅dS=∫VρVdV
5. 磁场的高斯定律
磁通连续原理
∮ S B ⋅ d S = 0 {\color{Red}\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0} ∮SB⋅dS=0
6.麦克斯韦方程组
6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
前面介绍了5个重要的方程，将其中四个方程归为一组即为麦克斯韦方程组的积分形式
∮ l H ⋅ d l = ∫ S ( J c + ∂ D ∂ t ) ⋅ d S ∮ l E ⋅ d l = − ∫ S ∂ B ∂ t ⋅ d S ∮ S D ⋅ d S = ∫ V ρ V d V ∮ S B ⋅ d S = 0 \oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{S}\left(\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}\\ \oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot d l=-\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S}\\ \oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\int_{V} \rho_{V} \mathrm{d} V\\ \oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0 ∮lH⋅dl=∫S(Jc+∂t∂D)⋅dS∮lE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS∮SD⋅dS=∫VρVdV∮SB⋅dS=0
由电荷守恒导出的电流连续性方程，也是电磁理论中的重要方程
∮ S J c ⋅ d S = − ∫ V ∂ ρ V ∂ t d V \oint_{S} \boldsymbol{J}_{c} \cdot d \boldsymbol{S}=-\int_{V} \frac{\partial \rho_{V}}{\partial t} d V ∮SJc⋅dS=−∫V∂t∂ρVdV
麦克斯韦主要由四个方程组成，第一个方程称为全电流定律，是安培环路定律的推广；第二个方程由法拉第电磁感应定律导出；另两个方程为电场和磁场的高斯定律。
6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
6.2.1 散度定理（高斯定理）
某一矢量散的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量
∫ V ∇ ⋅ F d V = ∮ S F ⋅ d S \int_{V} \nabla \cdot \boldsymbol{F} \mathrm{d} V=\oint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} ∫V∇⋅FdV=∮SF⋅dS
6.2.2 斯托克斯定律
一个矢量场的旋度在一开放曲面上的曲面积分等于该矢量沿此曲面的曲线积分
∫ S ( ∇ × F ) ⋅ d S = ∮ l F ⋅ d l \int_{S}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\oint_{l} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} ∫S(∇×F)⋅dS=∮lF⋅dl
6.2.3 微分形式
应用斯托克斯定律可以导出麦克斯韦前两个方程的以及电流连续性方程微分形式
∇ × H = J c + ∂ D ∂ t ∇ × E = − ∂ B ∂ t \nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_{c}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} ∇×H=Jc+∂t∂D∇×E=−∂t∂B
∇ ⋅ J c = − ∂ ρ V ∂ t \nabla \cdot \boldsymbol{J}_{c}=-\frac{\partial \rho_{V}}{\partial t} ∇⋅Jc=−∂t∂ρV
由散度定理可以写出电磁场的高斯定律微分形式
∇ ⋅ D = ρ V ∇ ⋅ B = 0 \begin{array}{c} \nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho_{V} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \end{array} ∇⋅D=ρV∇⋅B=0
7 媒介的电磁性质和边界条件
7.1 本构方程
麦克斯韦的积分形式以及微分形式归根结底还是描述的宏观电磁现象。要根据物质的微观模型和性质，将麦克斯韦方程组推广到一般电磁材料中。传导、极化、磁化是物质在电磁场中的三种基本现象。通过对材料的电磁性质的研究，可以获得三个本构方程（物态方程）。
传导：
本构方程：
J c = σ E {\color{Red}\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}=\sigma \boldsymbol{E}} Jc=σE
σ \sigma σ为金属的电导率， J c \boldsymbol{J}_{\mathrm{c}} Jc为电流密度，上式就是欧姆定律的微分形式。反应材料和电场关系的本构方程之一。
极化：
在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚电荷的现象，称为电介质的极化
P = χ c ε 0 E \boldsymbol{P}=\chi_{c} \varepsilon_{0} \boldsymbol{E} P=χcε0E
P \boldsymbol{P} P是一个宏观物理量，表示电介质的极化程度。 χ c \chi_{c} χc称为电极化系数，是一个量纲为一的量。$\varepsilon_{0} $为真空介电常数。（这地方编译不出来我没有办法）
本构方程：
D = ε 0 E + P {\color{Red}\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}} D=ε0E+P
磁化：
在外磁场作用下，物质中的原子磁矩都会受到一个扭矩作用，对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象成为物质的磁化。
M \boldsymbol{M} M定义为磁化强度
重要公式：
J n s = M × a n \boldsymbol{J}_{\mathrm{ns}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{a}_{\mathrm{n}} Jns=M×an
J n s \boldsymbol{J}_{\mathrm{ns}} Jns为束缚电流面密度， a n {a}_{\mathrm{n}} an为面元法线。
M = χ m H \boldsymbol{M}=\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H} M=χmH
上式 χ m \chi_{\mathrm{m}} χm称为极化率
本构方程：
B = μ 0 （ H + M ） {\color{Red}\boldsymbol{B}=\mu_{0} （\boldsymbol{H}+ \boldsymbol{M}）} B=μ0（H+M）
7.2 媒介中的麦克斯韦方程组
∇ × H = J c + ∂ D ∂ t ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ ⋅ D = ρ V ∇ ⋅ B = 0 ∇ ⋅ J c = − ∂ ρ V ∂ t J c = σ E D = ε 0 E + P B = μ 0 ( H + M ) \nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_{c}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho_{V} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0\\ \nabla \cdot \boldsymbol{J}_{c}=-\frac{\partial \rho_{V}}{\partial t}\\ \boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}=\sigma \boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\\ \boldsymbol{B}=\mu_{0}(\boldsymbol{H}+ \boldsymbol{M})\\ ∇×H=Jc+∂t∂D∇×E=−∂t∂B∇⋅D=ρV∇⋅B=0∇⋅Jc=−∂t∂ρVJc=σED=ε0E+PB=μ0(H+M)
说明：麦克斯韦方程组中的4个方程并不是相互独立的，后面两个散度方程可以通过前面两个旋度方程加电流连续性方程导出（方程的独立是相对的）。
上述方程中含有 E \boldsymbol{E} E、 D \boldsymbol{D} D 、 、 、 B \boldsymbol{B} B、 H \boldsymbol{H} H、 J c \boldsymbol{J}_{c} Jc五个未知矢量，以及一个未知标量 ρ V \rho_{V} ρV（3*5+1=16）
麦克斯韦方程组加上流连续性方程，含3个独立的方程（可以认为是两个旋度方程加电流连续性方程）,这3个独立方程中含有7个标量方程。而3个本构方程含9个标量方程。（9+7=16）
上面8个方程即为一般媒质中完整的麦克斯韦方程组(麦克斯韦方程组4+电流连续性方程1+本构方程3)。
7.3 边界条件
定义：决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件
由于边界中，媒质的性质发生了突变，故微分形式的麦克斯韦方程组不适用了，可以用麦克斯韦方程组的积分形式进行推导。
边界条件总结如下：
- H的切向分量在界面处不连续，其数量等于界面处的自由表面电流密度
H 1 t − H 2 t = J n s H_{1 t}-H_{2 t}=J_{\mathrm{ns}} H1t−H2t=Jns
- E的切向分量在整个界面上是连续的
E 1 t = E 2 t E_{1 t}=E_{2 t} E1t=E2t
- B的垂直分量在界面B上连续
B 1 n = B 2 n B_{1 n}=B_{2 n} B1n=B2n
- D的垂直分量在界面处不连续，其数量等于界面处的自由表面电荷密度
D 1 n − D 2 n = ρ s D_{1 n}-D_{2 n}=\rho_{s} D1n−D2n=ρs
