信号与系统课程第十五次作业参考答案

 

 

※ 第一题

已知 x [ n ] , h [ n ] x\left[ n \right],h\left[ n \right] x[n],h[n]长度分别是10， 25。设： y 1 [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] y_1 \left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right] y1​[n]=x[n]∗h[n]。
把 x [ n ] x\left[ n \right] x[n]和 h [ n ] h\left[ n \right] h[n]分别进行25点的离散傅里叶变换后相乘，即： Y [ k ] = X [ k ] ⋅ H [ k ] Y\left[ k \right] = X\left[ k \right] \cdot H\left[ k \right] Y[k]=X[k]⋅H[k]。
由 Y [ k ] Y\left[ k \right] Y[k]求出 y [ n ] y\left[ n \right] y[n]，指出 y 1 [ n ] , y [ n ] y_1 \left[ n \right],y\left[ n \right] y1​[n],y[n]相同的点。

■ 求解：

 

※ 第二题

如果希望通过DFT获得吉他每个琴弦的频谱特性，要求频谱分析的最大范围是20kHz，频谱分辨率为1Hz。请问需要进行数据采集的频谱和时间长度分别是多少？

■ 求解：

数据采集频率为40kHz
数据采集时间为1秒钟。

 

※ 第三题

序列 x [ n ] x\left[ n \right] x[n]的长度为8192。已知一台计算机 每次的实数乘法和加分的时间分别为20微秒和4微秒，求直接计算 D F T { x [ n ] } DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} DFT{x[n]}和快速傅里 叶变换计算各需要多少时间?

■ 求解：

长度为N,N 恰好是2的整数次幂的数，对应对应的DFT的复数乘法和加分分别是：
N 2 ,     N ( N − 1 ) N^2 ,\,\,\,N\left( {N - 1} \right) N2,N(N−1)

对应的FFT的复数乘法和加分分别是：

N 2 log ⁡ 2 N ,     N log ⁡ 2 N {N \over 2}\log _2 N,\,\,\,N\log _2 N 2N​log2​N,Nlog2​N

那么对应的实数乘法和加法分别是：
DFT : 4 N 2 ,     4 N 2 − 2 N 4N^2 ,\,\,\,4N^2 - 2N 4N2,4N2−2N
FFT : 2 N log ⁡ 2 N ,     3 N log ⁡ 2 N 2N\log _2 N,\,\,\,3N\log _2 N 2Nlog2​N,3Nlog2​N
相应的运算时间分别为：
DFT : 20 ⋅ 4 N 2 + 4 ⋅ ( 3 N 2 − 2 N )     μ s 20 \cdot 4N^2 + 4 \cdot \left( {3N^2 - 2N} \right)\,\,\,\mu s 20⋅4N2+4⋅(3N2−2N)μs
FFT： 20 ⋅ 2 N log ⁡ 2 N + 4 ⋅ 3 N log ⁡ 2 N    μ s 20 \cdot 2N\log _2 N + 4 \cdot 3N\log _2 N\,\,\mu s 20⋅2Nlog2​N+4⋅3Nlog2​Nμs

计算得出所需要的是时间分别约为：
DFT：6173.3 (s)
FFT：5.537 (s)

 

※ 第四题

已知 x [ n ] , y [ n ] x\left[ n \right],y\left[ n \right] x[n],y[n]均为 N N N点的实序列，且： X [ k ] = D F T { x [ n ] } X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} X[k]=DFT{x[n]}, Y [ k ] = D F T { y [ n ] } Y\left[ k \right] = DFT\left\{ {y\left[ n \right]} \right\} Y[k]=DFT{y[n]}。

设计一个从 X [ k ] , Y [ k ] X\left[ k \right],Y\left[ k \right] X[k],Y[k]求出 x [ n ] , y [ n ] x\left[ n \right],y\left[ n \right] x[n],y[n]的 N N N点的离散傅里叶反变换的算法，为了提高运算效率，要求该运算能够一次完成。

■ 求解：

利用 X [ k ] , Y [ k ] X\left[ k \right],Y\left[ k \right] X[k],Y[k]构造数据 Z [ k ] Z\left[ k \right] Z[k]： Z [ k ] = X [ k ] + j Y [ k ] Z\left[ k \right] = X\left[ k \right] + jY\left[ k \right] Z[k]=X[k]+jY[k]。
利用N点的离散傅里叶反变换对Z[k]进行变换。根据DFT的线性性，结果中的实部对应x[n],虚部对应y[n].

 

※ 第五题

设系统频率特性幅度平方函数的表达式为：
（1） ∣ H ( j Ω ) ∣ 2 = 1 Ω 4 + Ω 2 + 1 \left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {1 \over {\Omega ^4 + \Omega ^2 + 1}} ∣H(jΩ)∣2=Ω4+Ω2+11​

（2） ∣ H ( j Ω ) ∣ 2 = 1 + Ω 4 Ω 4 − 3 Ω 2 + 2 \left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{1 + \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 - 3\Omega ^2 + 2}} ∣H(jΩ)∣2=Ω4−3Ω2+21+Ω4​

（3） ∣ H ( j Ω ) ∣ 2 = 100 − Ω 4 Ω 4 + 20 Ω 2 + 10 \left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{100 - \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 + 20\Omega ^2 + 10}} ∣H(jΩ)∣2=Ω4+20Ω2+10100−Ω4​

请问哪些系统是物理可实现的？

■ 求解：

给定的三个系统的幅频函数都是有理分式表达式，它们都会满足佩利维纳准则。所以判断系统是否物理可实现，主要根据系统函数模的平方是否可积。

系统（1）的模的平方的积分小于无穷大；所以它是可以物理实现的；
系统（2），（3）的模的平方积分趋于无穷大，这两个系统是物理不可实现的。

 

※ 第六题

画出以下传递函数的滤波器结构图：
（1） H 1 ( z ) = 1 1 − a z − 1 H_1 \left( z \right) = {1 \over {1 - az^{ - 1} }} H1​(z)=1−az−11​

（2） H 2 ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 3 H_2 \left( z \right) = \left( {1 - z^{ - 1} } \right)^3 H2​(z)=(1−z−1)3

（3） H 3 ( z ) = 1 − z − 1 1 − a z − 1 H_3 \left( z \right) = {{1 - z^{ - 1} } \over {1 - az^{ - 1} }} H3​(z)=1−az−11−z−1​

（4） H 4 ( z ) = ( 1 − z − 1 ) 2 1 − ( a 1 + a 2 ) z − 1 + a 3 z − 2 H_4 \left( z \right) = {{\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }} H4​(z)=1−(a1​+a2​)z−1+a3​z−2(1−z−1)2​

■ 求解：

将系统传递函数整理成有理分式的形式，然后可以绘制出I型滤波器实现结构：

（1）

（2）
H ( z ) = 1 − 3 z − 1 + 3 z − 3 − z − 3 H\left( z \right) = 1 - 3z^{ - 1} + 3z^{ - 3} - z^{ - 3} H(z)=1−3z−1+3z−3−z−3

（3）

（4）

H 4 ( z ) = 1 − 2 z − 1 + z − 2 1 − ( a 1 + a 2 ) z − 1 + a 3 z − 2 H_4 \left( z \right) = {{1 - 2z^{ - 1} + z^{ - 2} } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }} H4​(z)=1−(a1​+a2​)z−1+a3​z−21−2z−1+z−2​

 

※ 第七题

已知IIR数字滤波器的传递函数为：
H ( z ) = 0.28 z 2 + 0.192 z + 0.05 z 3 + 0.65 z 2 + 0.55 z + 0.03 H\left( z \right) = {{0.28z^2 + 0.192z + 0.05} \over {z^3 + 0.65z^2 + 0.55z + 0.03}} H(z)=z3+0.65z2+0.55z+0.030.28z2+0.192z+0.05​

给出它的直接II行、级联型、并联型的滤波器结构图。

■ 求解：

H ( z ) = 0.28 z − 1 + 0.192 z − 2 + 0.05 z − 3 1 + 0.65 z − 1 + 0.55 z − 2 + 0.03 z − 3 H\left( z \right) = {{0.28z^{ - 1} + 0.192z^{ - 2} + 0.05z^{ - 3} } \over {1 + 0.65z^{ - 1} + 0.55z^{ - 2} + 0.03z^{ - 3} }} H(z)=1+0.65z−1+0.55z−2+0.03z−30.28z−1+0.192z−2+0.05z−3​

对应的直接II型滤波器的结构为：

 

※ 第八题

已知全通系统的传递函数为：

H a p = z − 1 − z 0 ∗ 1 − z 0 z − 1 H_{ap} = {{z^{ - 1} - z_0^* } \over {1 - z_0 z^{ - 1} }} Hap​=1−z0​z−1z−1−z0∗​​
z 0 z_0 z0​是实数。
（1）写出该系统的差分方程表达式；
（2）会出直接II型实现的系统框图；

■ 求解：

略。

 

※ 第九题

已知模拟滤波器的传递函数为：
（1） H ( s ) = 5 ( s + 2 ) ( s + 3 ) H\left( s \right) = {5 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} H(s)=(s+2)(s+3)5​

（2） H ( s ) = 3 s + 2 2 s 2 + 3 s + 1 H\left( s \right) = {{3s + 2} \over {2s^2 + 3s + 1}} H(s)=2s2+3s+13s+2​

设采样周期 T = 0.5 T = 0.5 T=0.5，用以下方法将它们转换为数字滤波器：
（1）脉冲响应不变法；
（2）双线性变换法；

■ 求解：

（1）求解：
使用脉冲响应不变法：
H ( z ) = 2.0569 z − 1 1 − 4.8496 z − 1 + 1.6487 z − 2 H\left( z \right) = {{2.0569z^{ - 1} } \over {1 - 4.8496z^{ - 1} + 1.6487z^{ - 2} }} H(z)=1−4.8496z−1+1.6487z−22.0569z−1​
双线性方法：
H ( z ) = 0.8333 + 1.6667 z − 1 − 0.2222 z − 2 1 − 7.3333 z − 1 + 2.3333 z − 2 H\left( z \right) = {{0.8333 + 1.6667z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 7.3333z^{ - 1} + 2.3333z^{ - 2} }} H(z)=1−7.3333z−1+2.3333z−20.8333+1.6667z−1−0.2222z−2​

（2）求解：
双线性方法：
H ( z ) = 0.3111 + 0.0899 z − 1 − 0.2222 z − 2 1 − 1.3778 z − 1 + 0.4667 z − 2 H\left( z \right) = {{0.3111 + 0.0899z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 1.3778z^{ - 1} + 0.4667z^{ - 2} }} H(z)=1−1.3778z−1+0.4667z−20.3111+0.0899z−1−0.2222z−2​

 

※ 第十题

使用窗函数法设计一个线性相位FIR滤波器，要求的技术指标为：
（1） 在 Ω p = 30 π    r a d / s \Omega _p = 30\pi \,\,rad/s Ωp​=30πrad/s处的衰减 δ p ≥ − 3 d B \delta _p \ge - 3dB δp​≥−3dB；
（2） 在 Ω s = 46 π     r a d / s \Omega _s = 46\pi \,\,\,rad/s Ωs​=46πrad/s处的衰减 δ s ≤ − 40 d B \delta _s \le - 40d{\bf{B}} δs​≤−40dB；
（3）采样周期 T = 0.01 s T = 0.01s T=0.01s。

■ 求解：

采用海明窗口，其单位样值响应为：
h [ n ] = sin ⁡ [ 0.3 π ( n − 25 ) ] π ( n − 25 ) [ 0.54 − 0.46 cos ⁡ ( 2 π ⋅ n 50 ) ] ,      0 ≤ n ≤ 50 h\left[ n \right] = {{\sin \left[ {0.3\pi \left( {n - 25} \right)} \right]} \over {\pi \left( {n - 25} \right)}}\left[ {0.54 - 0.46\cos \left( {{{2\pi \cdot n} \over {50}}} \right)} \right],\,\,\,\,0 \le n \le 50 h[n]=π(n−25)sin[0.3π(n−25)]​[0.54−0.46cos(502π⋅n​)],0≤n≤50

 

※ 第十一题

使用级联结构实现以下传递函数：
（1） X ( z ) = 1 − 1 4 z − 1 ( 1 + 1 4 z − 1 ) ( 1 + 5 4 z − 1 + 3 8 z − 2 ) X\left( z \right) = {{1 - {1 \over 4}z^{ - 1} } \over {\left( {1 + {1 \over 4}z^{ - 1} } \right)\left( {1 + {5 \over 4}z^{ - 1} + {3 \over 8}z^{ - 2} } \right)}} X(z)=(1+41​z−1)(1+45​z−1+83​z−2)1−41​z−1​

（2） X ( z ) = 1 + 8 z − 1 + 14 z − 2 + 9 z − 3 1 + 6 z − 1 + 11 z − 2 + 6 z − 3 X\left( z \right) = {{1 + 8z^{ - 1} + 14z^{ - 2} + 9z^{ - 3} } \over {1 + 6z^{ - 1} + 11z^{ - 2} + 6z^{ - 3} }} X(z)=1+6z−1+11z−2+6z−31+8z−1+14z−2+9z−3​

■ 求解：

略。