蒙特卡洛光线追踪技术系列 见 蒙特卡洛光线追踪技术

让我们在光线跟踪器中添加一个对象。人们经常在光线跟踪器中使用球体，因为计算光线是否击中球体非常简单。回想一下，以半径R原点为中心的球体的方程是x*x+y*y+z*z=R*R。读取该方程的方法是“对于任何（x，y，z），如果x*x+y*y+z*z=R*R，则（x，y，z）在球体上，否则它不在”。如果球体中心位于（cx，cy，cz），则会变得更丑：

在图形中，你几乎总是希望你的公式是矢量形式的，所以所有的x/y/z都在vec3类中。您可能会注意到，从中心C=（C x，C y，C z）到点p=（x，y，z）的向量是（p-C）。点（（p-C），（p-C））=（y-cy）*（y-cy）+（z-cz）*（z-cz）。所以矢量形式的球方程是：

我们可以把它理解为“满足这个方程的任何点p都在球面上”。我们想知道我们的射线p（t）=A+t*B是否曾撞击过球体的任何地方。如果它真的碰到了球，有一些t，p（t）满足球方程。所以我们在寻找任何一个t，如果这是真的：

或展开射线p（t）的完整形式：

向量代数的规则就是我们想要的，如果我们把方程展开，把所有的项移到左边，我们得到：

方程中的向量和R都是常数和已知的。未知的是t，方程是二次方程，就像你在高中数学课上看到的。你可以解t，有一个平方根部分，它要么是正的（意味着两个实解），要么是负的（意味着没有实解），要么是零（意味着一个实解）。在图形学中，代数几乎总是与几何学直接相关。我们所拥有的是：

如果我们把这个数学公式和硬编码输入到程序中，我们可以通过在z轴上的-1处的小球上涂上红色来测试它：

bool hit_sphere(const Vector3& center, float radius, const Ray&r) {
	Vector3 oc = r.origin() - center;
	float a = dot(r.direction(), r.direction());
	float b = 2.0*dot(oc, r.direction());
	float c = dot(oc, oc) - radius*radius;
	float discriminant = b*b - 4 * a*c;
	return (discriminant > 0);
}
Vector3 color(const Ray&r) {
	if (hit_sphere(Vector3(0, 0, -1), 0.5, r))return Vector3(1, 0, 0);
	Vector3 unit_direction = unitVector(r.direction());
	float t = 0.5*(unit_direction.y() + 1.0);
	return (1.0 - t)*Vector3(1.0, 1.0, 1.0) + t*Vector3(0.5, 0.7, 1.0);
}


........ main函数 ........ 

	for (int j = HEIGHT-1;j >= 0;j--) {
		for (int i = 0;i < WIDTH;i++) {
			int offset = (WIDTH*j + i) * 4;
			float u = float(i) / float(WIDTH);
			float v = float(j) / float(HEIGHT);
			Ray r(origin, lower_left_corner+u*horizontal+v*vertical);
			Vector3 col = color(r);
			Pixels[offset + 0] = (unsigned char)255.99*col[0];
			Pixels[offset + 1] = (unsigned char)255.99*col[1];
			Pixels[offset + 2] = (unsigned char)255.99*col[2];
			Pixels[offset + 3] = 255;
		}
	}

测试结果：