本文参考书目为《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》

图滤波器

参考之前的学习笔记图神经网络学习笔记（1）——图信号与图傅里叶变换，图信号定义在图的节点上，图信号处理不仅需要考虑图的信号强度，也需要考虑图的拓扑结构。据参考书目，给出图滤波器定义（定义式参考逆图傅里叶变换，信号增强还是衰减通过h(λ)控制）：

从算子的角度看，上式描述了一种作用在每个节点一阶子图上的变换操作。称满足上述性质的矩阵为图G的图位移算子（拉普拉斯矩阵与邻接矩阵都是典型的图位移算子）。
图滤波器具有以下性质：
（1）线性：H(x+y)=Hx+Hy
（2）滤波操作是顺序无关的：

用多项式逼近滤波器H，并对H的逼近式子进行泰勒展开有：

空域角度理解图滤波

由上知，利用多项式逼近滤波器H再对其做泰勒展开可以得到图滤波器H的多项式逼近形式，则其滤波形式可以如下式所示：

如果有如下设定：

则多项式逼近下的图滤波形式如下所示：

上式将图信号编程了K+1组的图信号线性加权，因为对于设定式子，L是图位移算子，所以有如下式子：

则有：

空域角度下，图滤波具有如下性质：
（1）具有局部性，每个节点的输出信号只需考虑其K阶子图；
（2）可通过K步迭代式的矩阵向量乘法完成滤波操作。

由于图空域滤波的局部性，H等价于一个聚合邻居的操作算子。
如参考书目中所给示例：

以图的邻接矩阵作为图滤波器，则根据输入图a，有滤波器形式如下：

又因为图a中，初试图信号强度为：

给定系数向量为：

根据式子：

有如下计算式：

带入计算得：

频域角度理解图滤波

参考之前的学习笔记图神经网络学习笔记（1）——图信号与图傅里叶变换，有：

则有：

通过该滤波器滤波，有：

上式子可以分解为三步：
（1）图傅里叶变换将图信号转化到频域空间，对应式子为：

（2）调节频率分量强度，得到频域下信号强度表示，对应式子为：

（3）通过逆傅里叶变换反解出滤波后图信号，对应式子为：

以上为图滤波器相关学习笔记。

鸽了很久，希望下一篇GCN可以尽快整理完，本系列主要是学习笔记，部分书中第一眼没看懂的地方，都通过查阅资料在博客中给出了较为细致（我看起来比较方便理解的解释…）的说明，仅供交流学习。