JML系列 优化及时间复杂度可行性证明

符号定义

优化方法与复杂度分析

queryBlockSum

并查集

• 由于不需要删除操作，故采用并查集实现
• 并查集单次操作的均摊复杂度为 O ( α ( n ) ) O(\alpha(n)) O(α(n))，其中 α \alpha α为一个Ackerman函数相关的，这里可以认为小于常数 4 4 4
• 每次查询时需遍历每个Person，时间复杂度 O ( α p ) O(\alpha p) O(αp)
• 动态维护加边的复杂度 O ( α r ) O(\alpha r) O(αr)
• 总时间复杂度 O ( α p q b + α r ) O(\alpha p q_b+\alpha r) O(αpqb​+αr)上限小于 1 × 1 0 7 1\times10^7 1×107，稳妥

bfs/dfs

• 考虑到有同学使用bfs实现qbs，故补充对其时间复杂度的讨论
• 做法大致为 从每个Person作为入口进行Floodfill，对于已经有标记的不再进入，没有标记的则将所有连通的节点做一个新标记，最后统计标记的数量
• 时间复杂度 O ( q b ( p + r ) ) O(q_b (p+r)) O(qb​(p+r))，上限小于 1 × 1 0 7 1\times10^7 1×107，稳妥

queryAgeSum

• 采用直接暴力枚举Person进行计数的方法
• 时间复杂度为 O ( q a p ) O(q_a p) O(qa​p)，上限 2.4 × 1 0 6 2.4\times10^6 2.4×106，稳妥

queryNameRank

• 采用每次查询直接暴力统计的方法
• 时间复杂度 O ( q r p ) O(q_r p) O(qr​p)，上限 8 × 1 0 5 8\times10^5 8×105，稳妥

queryMinPath

• 采用堆优化Dijkstra算法，因为不需要处理负环
• 单次单源最短路径时间复杂度 O ( ( p + r ) l o g r ) O((p+r)logr) O((p+r)logr)
• 总体时间复杂度为 O ( q m ( p + r ) l o g r ) O(q_m (p+r)logr) O(qm​(p+r)logr)，上限较大，但由于总指令数限制，还满足关系 q m + p + r ≤ 3000 q_m+p+r\le3000 qm​+p+r≤3000，求极值可估计真实复杂度上限小于 2.5 × 1 0 7 2.5\times10^7 2.5×107
• 注意此题不写堆优化上限可达 1 × 1 0 9 1\times10^9 1×109大概率被卡
• 另外spfa已死，不卡是情分，卡是本分，参考NOI2018Day1T1，这本来也是一种及其不稳定的算法

queryStrongLinked

暴力枚举

• 这种做法需要两步bfs/dfs
• 第一次判断连通后，枚举去掉所有割点再次bfs判断是否仍然联通，如果都能联通，说明这两个点点双连通
• 这里的枚举割点是准确条件，但实现的时候如果不想再写一个找割点的算法（还是Tarjan），可以用枚举所有点替代
• 第二次bfs采用MASK的方法加速，不需要修改原图
• 总时间复杂度 O ( q s p ( p + r ) ) O(q_s p(p+r)) O(qs​p(p+r))时间复杂度上限可达 4.8 × 1 0 7 4.8\times10^7 4.8×107，应该能过，但有些小小的危险，如果具体实现太丑有可能被卡常，不过相信课程组是善良的
• 【更新20200515-10:46】 各位大佬所说的两次bfs/dfs的方法是有巨大bug的，MASK第一次的路径有可能把第二次的路径堵了，但第一次的路径如果换一条，就不会堵第二次的路径，建议不要使用这种方法 建议不要使用这种方法 建议不要使用这种方法，另外，上述 4.8 × 1 0 7 4.8\times10^7 4.8×107的复杂度课程组很善良！

点双连通分量

• 大致思路采用Tarjan找点双连通分量，再判断两个点是否具有相同编号（只是大致思路）
• 单次Tarjan就是dfs的复杂度 O ( p + r ) O(p+r) O(p+r)
• 判断是否双连通复杂度 O ( p ) O(p) O(p)
• 时间复杂度 O ( q s ( 2 p + r ) ) O(q_s (2p+r)) O(qs​(2p+r))上限小于 1 × 1 0 5 1\times10^5 1×105，稳妥
• 需要注意这种做法一定要多做测试！！！

其他

• 前两次作业的此处省略，没必要写的也省略
• 如有错误还请指正