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1、脉冲压缩目的和意义
在雷达系统中，距离分辨率是很重要的一项性能指标，它决定了雷达能分辨两个单元之间的最小距离，更通俗的，即雷达分辨相离较近物体的能力。而决定雷达分辨率的是发射信号带宽，所以我们想要提高距离分辨率，就需要发射更窄的脉冲信号，但是，窄脉冲就意味着发射信号能量小，导致探测距离短，所以，对于一般的脉冲信号（脉宽、时宽乘积约为1），比如矩形脉冲信号，带宽和时宽不能同时增大，因此距离分辨率和探测距离是一对矛盾。
脉冲压缩技术就能比较好的解决上述两个参量之间的矛盾，用宽脉冲发射信号，保证足够的探测距离，在接收端用相应的匹配滤波器，通过脉冲压缩技术得到窄脉冲，以此来提高距离分辨率。
2、线性调频信号
大时宽的宽频信号有很多形式，在雷达系统中最常用的是线性调频（Linear Frequency Modulation）脉冲信号。LFM脉冲信号的载频在脉冲宽度范围内线性变化，因此也有更宽的带宽。
LFM信号的复数表达式为：
s ( t ) = r e c t ( t τ ) e j 2 π ( f 0 + K t 2 / 2 ) s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j2\pi(f_{0}+Kt^{2}/2)} s(t)=rect(τt)ej2π(f0+Kt2/2)
其中， f 0 f_{0} f0为初始载频， τ \tau τ为脉冲宽度， K K K为发射线性调频信号的调频斜率，且
r e c t ( t τ ) = { 1 , ∣ t ∣ ≤ τ / 2 0 , ∣ t ∣ ≥ τ / 2 rect(\frac{t}{\tau})=\begin{cases} 1, \text{ $|t|\leq \tau/2$} \\ 0, \text{ $|t|\geq\tau/2$} \end{cases} rect(τt)={1, ∣t∣≤τ/20, ∣t∣≥τ/2 K = B / τ K=B/\tau K=B/τ B B B为信号带宽。
信号的瞬时频率 f ( t ) f(t) f(t)为：
f ( t ) = 1 2 π d d t [ 2 π ( f 0 t + K t 2 / 2 ) ] = f 0 + K t f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}[2\pi(f_{0}t+Kt^2/2)]=f_{0}+Kt f(t)=2π1dtd[2π(f0t+Kt2/2)]=f0+Kt
当 B B B=20MHz， τ \tau τ=10 μ s \mu s μs时，线性调频信号波形和频谱如下图所示：
还有一点不得不强调，LFM脉冲信号的带宽和时宽都是可以自己选择的，不像矩形脉冲信号那样带宽和时宽相互制约。
3、脉冲压缩
脉冲压缩的理论基础是匹配滤波。对雷达接收的回波信号进行脉冲压缩后有两个好处：增加信噪比；压缩信号宽度。
匹配滤波是一种最优滤波器，只要我们给予输入的是某一确知信号，并加上白噪声，那么就能让输出的信噪比达到最大。
将回波信号记为 f ( t ) f(t) f(t)，设滤波器的传输函数为 H ( w ) H(w) H(w)，则为了满足最大输出信噪比， H ( w ) H(w) H(w)的表达式为： H ( w ) = K F ∗ e − j w t 0 H(w)=KF^*e^{-jwt_{0}} H(w)=KF∗e−jwt0
上式中， F ∗ F^* F∗为 f ( t ) f(t) f(t)傅里叶变换的共轭； t 0 t_0 t0是物理器件的时间延时； K K K为增益常数。
从时域角度看，匹配滤波器也可以用冲激函数 h ( t ) h(t) h(t)来表示，则上式描述的滤波器冲击响应为： h ( t ) = K f ∗ ( t 0 − t ) h(t)=Kf^*(t_0-t) h(t)=Kf∗(t0−t)
脉冲压缩要在雷达后端接收机由数字信号处理器件完成，而在这个过程中，由于器件速度的限制，脉冲压缩的过程通常需要在零中频进行，此时，线性调频信号的表达式变为： s ( t ) = r e c t ( t τ ) e j π K t 2 s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j\pi Kt^{2}} s(t)=rect(τt)ejπKt2少了初始频率 f 0 f_0 f0，从 h ( t ) h(t) h(t)的表达式可以看出，如果不考虑器件延时 t 0 t_0 t0和增益常数 K K K，匹配滤波器的冲击响应是滤波器输入信号 f ( t ) f(t) f(t)的共轭倒置，即： h ( t ) = f ∗ ( − t ) = r e c t ( t τ ) e − j π K t 2 h(t)=f^*(-t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{-j\pi Kt^{2}} h(t)=f∗(−t)=rect(τt)e−jπKt2滤波器输出可以由 f ( t ) 、 h ( t ) f(t)、h(t) f(t)、h(t)卷积得到，也可以由他们的傅里叶变换乘积再经过傅里叶反变换得到。在实际应用中，通过卷积直接做脉冲压缩的运算量很大。，更多是从频域角度来实现匹配滤波。
4、仿真
| 参数名称 | 参数值 |
|---|---|
| 带宽（B） | 20MHz |
| 脉冲宽度（tao） | 10e-6s |
| 脉冲重复间隔 （T） | 1e-4s |
| 采样频率（fs） | 80MHz |
| 目标1距离（R1） | 7000m |
| 目标2距离（R2） | 15000m |
| 目标3距离（R3） | 15300m |
| 目标4距离（R4） | 15500m |
得到回波如下图：
对回波进行脉冲压缩后的波形如下图：
可以看到，由于目标2、目标3和目标3相距较近，他们的回波信号由接收机接收后会混在一起，难以分辨到底是几个目标，但是经过脉冲压缩后，可以很容易的分辨出来。
注：仿真里没算上RCS，所以回波幅度看起来差不多，实际中回波幅度会因为目标RCS的不同而不同。
附上仿真程序：
clear
T = 1e-4;
tao = 10e-6;
B = 20e6;
fs = 4*B;
R1 = 7000;
R2 = 15000;
R3 = 15300;
R4 = 15500;
c = 3e8; %光速
delay1=2*R1/c; %回波达到时间
delay2=2*R2/c;
delay3=2*R3/c;
delay4=2*R4/c;
t=-tao/2:1/fs:tao/2-1/fs;
x_linear=5*exp(1j*pi*(B/(10e-6).*(t.^2))); %发射信号
figure
subplot(211);plot(t,real(x_linear));title('时域波形')
X=fftshift(fft(x_linear));
f=linspace(0,fs,length(t))-fs/2;
subplot(212);plot(f,abs(X));title('频域')
echo1=randn(1,T*fs); %噪声
echo2=randn(1,T*fs);
echo3=randn(1,T*fs);
echo4=randn(1,T*fs);
echo1(ceil(delay1*fs/2):1:ceil(delay1*fs/2)+length(t)-1)=x_linear;
echo2(ceil(delay2*fs/2):1:ceil(delay2*fs/2)+length(t)-1)=x_linear;
echo3(ceil(delay3*fs/2):1:ceil(delay3*fs/2)+length(t)-1)=x_linear;
echo4(ceil(delay4*fs/2):1:ceil(delay4*fs/2)+length(t)-1)=x_linear;
echo=echo1+echo2+echo3+echo4;
figure;
plot(0:1/fs:T-1/fs,real(echo));xlabel('time');title('回波')
h=exp(-1j*pi*(B/(10e-6).*(t.^2))); %匹配滤波器冲击响应
output=ifft((fft(h,length(echo)).*fft(echo,length(echo)))) %h和echo做fft的长度要一样
figure;
subplot(211);plot(0:1/fs:T-1/fs,abs(output));title('脉冲压缩输出波形');xlabel('time');
subplot(212);plot(0:1/fs:T-1/fs,db(abs(output)/max(abs(output))),'r');title('脉压结果分贝图');ylabel('dB')
参考：
[1]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.
[2]https://blog.csdn.net/weixin_45858061/article/details/102986993
