Author：AXYZdong
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文章目录

• 前言
• 一、线性性质
• 二、移位特性
• 三、尺度变换
• 四、卷积定理
• 五、z 域微分
• 六、z 域积分
• 七、z 域反转
• 八、部分和
• 总结

前言

离散系统 z 域分析相关内容

一、线性性质

若
f 1 ( k ) F 1 ( z ) , α 1 < ∣ z ∣ < β 1 f_1(k) \longleftrightarrow F_1(z),\alpha_1<|z|<\beta_1 f1​(k)F1​(z),α1​<∣z∣<β1​

f 2 ( k ) F 2 ( z ) , α 2 < ∣ z ∣ < β 2 f_2(k) \longleftrightarrow F_2(z),\alpha_2<|z|<\beta_2 f2​(k)F2​(z),α2​<∣z∣<β2​

对于任意常数 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1​,a2​ ，则：

a 1 f 1 ( k ) + a 2 f 2 ( k ) a 1 F 1 ( z ) + a 2 F 2 ( z ) a_1f_1(k)+a_2f_2(k) \longleftrightarrow a_1F_1(z)+a_2F_2(z) a1​f1​(k)+a2​f2​(k)a1​F1​(z)+a2​F2​(z) ，收敛域至少是 F 1 ( z ) 和 F 2 ( z ) F_1(z)和 F_2(z) F1​(z)和F2​(z) 收敛域的相交部分。

例：

2 δ ( k ) + 3 ϵ ( k ) 2 + 3 z z − 1 , ∣ z ∣ > 1 2\delta(k)+3\epsilon(k)\longleftrightarrow2+\frac{3z}{z-1},|z|>1 2δ(k)+3ϵ(k)2+z−13z​,∣z∣>1

二、移位特性

移位特性分单边和双边
双边：
若
f ( k ) F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f (k) \longleftrightarrow F (z),\alpha <|z|<\beta f(k)F(z),α<∣z∣<β ,且对整数 m > 0 m>0 m>0 ,则：

f ( k ± m ) z ± m F ( z ) , , α < ∣ z ∣ < β f(k\pm m) \longleftrightarrow z^{\pm m}F(z),,\alpha <|z|<\beta f(k±m)z±mF(z),,α<∣z∣<β

单边：
若
f ( k ) F ( z ) , ∣ z ∣ < α f (k) \longleftrightarrow F (z),|z|<\alpha f(k)F(z),∣z∣<α ,且对整数 m > 0 m>0 m>0 ,则：
f ( k − m ) z − m F ( z ) + ∑ k = 0 m − 1 f ( k − m ) z − k f(k-m)\longleftrightarrow z^{-m}F(z)+\sum_{k=0}^{m-1}f(k-m)z^{-k} f(k−m)z−mF(z)+k=0∑m−1​f(k−m)z−k

f ( k − 1 ) z − 1 F ( z ) + f ( − 1 ) f(k-1)\longleftrightarrow z^{-1}F(z)+f(-1) f(k−1)z−1F(z)+f(−1)
f ( k − 2 ) z − 2 F ( z ) + f ( − 2 ) + z − 1 f ( − 1 ) f(k-2)\longleftrightarrow z^{-2}F(z)+f(-2)+z^{-1}f(-1) f(k−2)z−2F(z)+f(−2)+z−1f(−1)

f ( k + 1 ) z F ( z ) − z f ( 0 ) f(k+1)\longleftrightarrow zF(z)-zf(0) f(k+1)zF(z)−zf(0)
f ( k + 2 ) z 2 F ( z ) − z 2 f ( 0 ) − z f ( 1 ) f(k+2)\longleftrightarrow z^{2}F(z)-z^2f(0)-zf(1) f(k+2)z2F(z)−z2f(0)−zf(1)

三、尺度变换

若
f ( k ) F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f (k) \longleftrightarrow F (z),\alpha <|z|<\beta f(k)F(z),α<∣z∣<β ,且有常数 a ≠ 0 a\ne 0 a​=0 ,则：

a k F ( k ) F ( z a ) , α ∣ a ∣ < ∣ z ∣ < β ∣ a ∣ a^kF(k) \longleftrightarrow F(\frac{z}{a}),\alpha|a| <|z|<\beta|a| akF(k)F(az​),α∣a∣<∣z∣<β∣a∣

例： cos ⁡ ( β k ) ϵ ( k ) \cos(\beta k)\epsilon(k) cos(βk)ϵ(k)

cos ⁡ ( β k ) = 1 2 ( e j β k + e − j β k ) \cos(\beta k)=\frac12(e^{j\beta k}+e^{-j\beta k}) cos(βk)=21​(ejβk+e−jβk)
cos ⁡ ( β k ) ϵ ( k ) 0.5 z − e j β + 0.5 z − e − j β \cos(\beta k)\epsilon(k)\longleftrightarrow\frac{0.5}{z-e^{j\beta}}+\frac{0.5}{z-e^{-j\beta}} cos(βk)ϵ(k)z−ejβ0.5​+z−e−jβ0.5​

四、卷积定理

若
f 1 ( k ) F 1 ( z ) , α 1 < ∣ z ∣ < β 1 f_1(k) \longleftrightarrow F_1(z),\alpha_1<|z|<\beta_1 f1​(k)F1​(z),α1​<∣z∣<β1​

f 2 ( k ) F 2 ( z ) , α 2 < ∣ z ∣ < β 2 f_2(k) \longleftrightarrow F_2(z),\alpha_2<|z|<\beta_2 f2​(k)F2​(z),α2​<∣z∣<β2​

则：
f 1 ( k ) ∗ f 2 ( k ) F 1 ( z ) F 2 ( z ) f_1(k)*f_2(k)\longleftrightarrow F_1(z)F_2(z) f1​(k)∗f2​(k)F1​(z)F2​(z)

五、z 域微分

若
f ( k ) F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f (k) \longleftrightarrow F (z),\alpha <|z|<\beta f(k)F(z),α<∣z∣<β
则：
k f ( k ) − z d d z F ( z ) ， α < ∣ z ∣ < β kf(k)\longleftrightarrow -z\frac{d}{dz}F(z)，\alpha <|z|<\beta kf(k)−zdzd​F(z)，α<∣z∣<β
例：

k ϵ ( k ) − z d d z ( z z − 1 ) = z ( z − 1 ) 2 k\epsilon(k) \longleftrightarrow-z\frac{d}{dz}(\frac{z}{z-1})=\frac{z}{(z-1)^2} kϵ(k)−zdzd​(z−1z​)=(z−1)2z​

六、z 域积分

若
f ( k ) F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f (k) \longleftrightarrow F (z),\alpha <|z|<\beta f(k)F(z),α<∣z∣<β ,且对整数 m , k + m > 0 m,k+m>0 m,k+m>0 ,则：

f ( k ) k + m z m ∫ z + ∞ F ( η ) η m + 1 d η , α < ∣ z ∣ < β \frac{f(k)}{k+m}\longleftrightarrow z^m\int_{z}^{+\infty}\frac{F(\eta)}{\eta^{m+1}}d\eta,\alpha <|z|<\beta k+mf(k)​zm∫z+∞​ηm+1F(η)​dη,α<∣z∣<β

例：求序列 1 k + 1 ϵ ( k ) \frac{1}{k+1}\epsilon(k) k+11​ϵ(k) 的 z z z 变换

1 k + 1 ϵ ( k ) z ∫ z + ∞ η / η − 1 η 2 d η = z ∫ z + ∞ 1 η ( η − 1 ) d η = z ln ⁡ ( z z − 1 ) \frac{1}{k+1}\epsilon(k)\longleftrightarrow z\int_{z}^{+\infty}\frac{\eta/\eta-1}{\eta^2}d\eta= z\int_{z}^{+\infty}\frac{ 1}{\eta(\eta-1)}d\eta=z\ln(\frac{z}{z-1}) k+11​ϵ(k)z∫z+∞​η2η/η−1​dη=z∫z+∞​η(η−1)1​dη=zln(z−1z​)

七、z 域反转

若
f ( k ) F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f (k) \longleftrightarrow F (z),\alpha <|z|<\beta f(k)F(z),α<∣z∣<β
则:
f ( − k ) F ( z − 1 ) , 1 β < ∣ z ∣ < 1 α f(-k)\longleftrightarrow F(z^{-1}),\frac1\beta <|z|<\frac1\alpha f(−k)F(z−1),β1​<∣z∣<α1​

八、部分和

若
f ( k ) F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f (k) \longleftrightarrow F (z),\alpha <|z|<\beta f(k)F(z),α<∣z∣<β
则:
∑ i = − ∞ k f ( i ) z z − 1 F ( z ) , m a x ( α , 1 ) < ∣ z ∣ < β \sum _{i=-\infty}^{k}f(i)\longleftrightarrow \frac{z}{z-1}F(z),max(\alpha,1)<|z|<\beta i=−∞∑k​f(i)z−1z​F(z),max(α,1)<∣z∣<β

总结

图片来自百度百科。

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